教科書の練習に関する表記上の混乱(LoringTuによる「微分幾何学」)
注:私のために演習を解決しないでください。自分で解決したいと思います。
以下は、LoringTuの「微分幾何学」の演習27.5です。
しましょう $\phi_\alpha:\pi^{-1}U_\alpha\to U_\alpha\times G$ によって与えられた $\phi_\alpha(p)=(\pi(p),g_\alpha(p))$ の些細なこと $\pi^{-1}U_{g\color{red}{a}}$ 主束で $P$。しましょう$A\in\mathfrak{g}$ そして $\bar{A}$ 上の基本ベクトル場 $P$それが誘発すること。証明してください$dg_\alpha(\bar{A}_p)=dl_{g_\alpha(p)}(A)$。
この演習についていくつか質問があります。まず、$a$ 赤字はおそらくタイプミスです。 $a$他のどこにも言及されていません。私はこれがすべきだと推測しています$\alpha$、しかしそれでは何ですか $g$そこでやってる?私の2番目の質問は、差異自体に関するものです。このマッピングがどこからどこへ行くのかは私にはわかりません。ターゲットスペースは$T_{g_\alpha(p)}G$、しかしそれではどこからマッピングされますか?
回答
このコミュニティウィキソリューションは、未回答のキューから質問をクリアすることを目的としています。
質問1:それは $\pi^{-1}U_\alpha$。テッド・シフリンのコメントを参照してください。
質問2:あなたは $\phi_\alpha:\pi^{-1}U_\alpha\to U_\alpha\times G$ によって与えられた $\phi_\alpha(p)=(\pi(p),g_\alpha(p))$。したがって、$g_\alpha : \pi^{-1}U_\alpha\to G$ そして $d_pg_\alpha : T_p \pi^{-1}U_\alpha \to T_{g_\alpha(p)}G$。A.ベルマントのコメントを参照してください。