距離汎関数は確率測度を分離しますか?

Aug 17 2020

しましょう $(\Omega,d)$ コンパクトなメトリックスペースであり、 $\mathcal P(\Omega)$ボレル確率測定のその空間。しましょう$D=\{ d_p\mid p\in\Omega\}$ どこ $d_p(x)=d(p,x)$すべての「距離汎関数」のセットになります。いつものように、私たちは考えることができます$D$ に作用する $\mathcal P(\Omega)$ (またはその逆)統合を介して、すなわち $\langle d_p,\mu\rangle = \int_\Omega d_p(x)\,\mathrm d\mu(x)$

タイトルの質問

しますか $D$ に作用する $\mathcal P(\Omega)$ 統合の別々のポイントを介して?

または同等に、

場合 $\mu,\nu \in \mathcal P(\Omega)$ そして $\langle d_p,\mu\rangle = \langle d_p,\nu\rangle$ すべてのために $p\in \Omega$、そしてしなければならない $\mu=\nu$

代替製剤

質問を組み立てる方法は他にもいくつかあります。

確率論的定式化

質問が予想どおりにすべての積分を書き直すと、

場合 $\mathbb E_{X\sim\mu}[d_p(X)] = \mathbb E_{Y\sim\nu}[d_p(Y)]$ すべてのために $p\in \Omega$、そしてしなければならない $\mu=\nu$

言い換えれば、すべてのポイントのポイントまでの予想距離を知ることで、メジャーが決まりますか?

幾何学的定式化

1-ワッサースタイン距離は次の式で与えられることを思い出してください。 $W_1(\mu,\nu) = \inf_{\gamma\in\Gamma(\mu,\nu)} \int_{\Omega\times\Omega} d(x,y) \,\mathrm d\gamma(x,y)$ どこ $\Gamma(\mu,\nu)$ 間のカップリングのセットです $\mu$ そして $\nu$ すなわち、ボレル確率測度 $\Omega\times\Omega$ 周辺分布あり $\mu$ そして $\nu$それぞれ。製品対策以来$\delta_p\otimes\mu$ ディラックのデルタ測度間の一意の結合です $\delta_p$ そして $\mu$、私たちはそれを持っています

$$W_1(\delta_p,\mu)=\int_{\Omega\times\Omega} d(x,y)\,\mathrm d(\delta_p\otimes\mu)(x,y)=\int_\Omega d(p,y)\,\mathrm d\mu(y)=\langle d_p,\mu\rangle$$

今、質問は幾何学的に次のように述べることができます

場合 $W_1(\delta_p,\mu)=W_1(\delta_p,\nu)$ すべてのために $p\in \Omega$、そしてしなければならない $\mu=\nu$

言い換えれば、知っていることは $W_1$ の極値までの距離 $\mathcal P(\Omega)$ 確率測度を完全に決定しますか?

積分変換フォーラム

距離変換を定義します$\mu\in\mathcal P(\Omega)$ 機能として $\phi_\mu:\Omega\to\mathbb R$ によって与えられた $\phi_\mu(p) = \int_\Omega d(p,x)\,\mathrm d\mu(x)$。質問は次のように言い換えることができます。

距離変換は単射ですか? $\mathcal P(\Omega)$

さらに、幾何学的な定式化により、 $\phi_\mu(p) = W_1(\delta_p,\mu)$。弱いものを使用します-$*$ のトポロジー $\mathcal P(\Omega)$ (これは $W_1$トポロジー)。地図以来$p\mapsto \delta_p$ の埋め込みです $\Omega$$\mathcal P(\Omega)$、それはそれに続く $\phi_\mu:\Omega\to\mathbb R$継続的です。距離変換をで表す$\Phi(\mu)=\phi_\mu$。以来$\mathcal P(\Omega)$ コンパクトなハウスドルフであり、 $C(\Omega)$ ハウスドルフです質問を次のように言い換えることができます

場合 $\Phi:\mathcal P(\Omega)\to C(\Omega)$ 継続的です、それは埋め込みですか?

最終的な考え

これらの同等のステートメントのいずれかが正しいですか?残念ながら、私は質問を再定式化することしかできず、明確な証拠を特定できませんでしたが、見落としている簡単なものがあったとしても驚かないでしょう。問題の幾何学的定式化は私にそれを信じさせる$D$ 確かにポイントを分離します $\mathcal P(\Omega)$。しかし、答えが肯定的である場合、私は結果として得られる素晴らしい特性を感じます$\Phi$調べやすいものになります。任意の洞察をいただければ幸いです。

更新: GeorgeLowtherのエレガントな4ポイントの反例とPietroMajerの肯定的な答えに照らして$\Omega=[0,1]$、基礎となる距離空間が肯定的な答えをもたらすかどうかを決定する要因をよりよく理解することは興味深いでしょう。

ジョージの反例は、次のような反例に拡張できます。 $\Omega$球です(固有の計量を使用)。したがって、$\Omega$正の次元であるために、マニフォールド、接続、パス接続、単純接続などは、問題を解決しません。一方、ピエトロは、次の場合に答えが再び肯定的であると疑っています。$\Omega$ ユークリッド空間のコンパクトな凸部分集合です。

回答

15 GeorgeLowther Aug 17 2020 at 18:13

いいえ。 $\Omega$ 正方形に配置された4つのポイントで構成され、隣接するポイント間の距離は1で、反対側のポイントの距離は2です。具体的には、ポイントにA、B、C、Dのラベルが付いている場合 \begin{align} & d(A,C)=d(B,D)=2,\\ & d(A,B)=d(B,C)=d(C,D)=d(D,A)=1. \end{align} たとえば、A、B、C、Dは、内部円メトリックを使用して、円の周りに等間隔に配置できます。

正確に2つの確率測定値があり、2つの反対のポイントのそれぞれに確率1/2を割り当て、残りの2つのポイントに確率0を割り当てます。 \begin{align} & \mu(\{A\})=\mu(\{C\}) = 1/2,\ \mu(\{B,D\})=0,\\ & \nu(\{B\})=\nu(\{D\})=1/2,\ \nu(\{A,C\})=0. \end{align}これらの2つのメジャーがすべての距離関数」に対して同じ積分を与えることを確認できます。すべてのポイントからの平均距離は、これらの両方で1に等しくなります。

7 PietroMajer Aug 17 2020 at 20:19

良い面として、答えは次の場合に肯定的です $\Omega$ は単位間隔です $[0,1]$その標準距離で。この場合$\phi_\mu$ 凸面です $1$-Lipschitz関数(実際には、すべてのユーザーに対しても定義されています $p\in\mathbb{R}$、と $\phi'(p)=\mathrm{sgn} p$ ために $p\notin[0,1]$)、左右の派生物を使用 $$\phi_-'(p)=\mu[0,p)-\mu[p,1]= 2\mu[0,p)-1$$ $$\phi_+'(p)=\mu[0,p] -\mu (p,1]= 2\mu[0,p] -1=1-2\mu(p,1]$$ そのため $\mu$ すべての間隔で、したがってすべてのボレルサブセットで決定されます。

逆に、凸関数はすべて $\phi$上記のように
フォームで書くことができます$\phi(p)=\int_{[0,1]}|t-p|dm(t)$ いくつかのボレル確率測度 $m$ オン $[0,1]$。これは$g:= \frac{1}{2}\big(1-\phi_+'\big) $ は非負の有界左極限関数であるため、ボレル確率関数があります $m$ そのような $g(p)=m(p,1]$、wherece $\phi(p)=\int_{[0,1]}|t-p|dm(t)$ 上記の関係から簡単にたどります。

答えも肯定的だと思います $\Omega$ 凸コンパクトセット $\mathbb{R}^n$ ユークリッド距離で。