$\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2=\left|2\frac{\partial u}{\partial z}\right|^2$
スタインとシャカルチによる複雑な分析(13ページ)を読んでいます。目標はそれを証明することです$\partial f/\partial z=2\, \partial u/\partial z$ どこ $f=u+iv$ そして $z=x+iy$。本の証拠は次のように述べています$$\begin{align}\det J_F (x_0,y_0)&=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y}\\&=\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2\\&\overset{?}{=}\left|2\frac{\partial u}{\partial z}\right|^2.\end{align}$$「?」でマークされた最後のステップを除いて、すべてを理解しています。代わりに私が得るのは$$\begin{align}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2&=\frac{\partial u^2}{\partial x^2}+\frac{\partial u^2}{\partial y^2}\\&=\frac{\partial u^2\partial y^2+\partial u^2\partial x^2}{\partial x^2\partial y^2}\\&=\frac{\partial u^2(\partial x^2+\partial y^2)}{\partial x^2\partial y^2}\\&=\frac{\partial u^2\partial z^2}{\partial x^2\partial y^2}\end{align}$$ でもなぜそれが等しいのか分かりません $\left|2\frac{\partial u}{\partial z}\right|^2$。
回答
定義する \begin{align} \dfrac{\partial u}{\partial z} &:= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial u}{\partial x} - i \dfrac{\partial u}{\partial y}\right) \end{align} したがって、複素数の絶対値の定義(および $u$ は実数値です)、その直後に \begin{align} \left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2 &= \left|2\dfrac{\partial u}{\partial z}\right|^2. \end{align}
補足として、私たちはまた定義します \begin{align} \dfrac{\partial u}{\partial \overline{z}} &:= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial u}{\partial x} + i \dfrac{\partial u}{\partial y}\right) \end{align} したがって、次のようにもなります \begin{align} \left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2 &= \left|2\dfrac{\partial u}{\partial z}\right|^2 = \left|2\dfrac{\partial u}{\partial \overline{z}}\right|^2 . \end{align}