マップの定義 $M \to \operatorname{Alb}(M)$

Question

グリフィスとハリスの代数幾何学の原理におけるアルバネーゼ多様体について読んでいます。複素多様体の場合$M$、アルバネーゼ多様体は次のように定義されます $$\operatorname{Alb(M)} := H^0(M, \Omega_M^1)^* / H_1(M, \mathbb{Z}).$$ 地図もあります $\mu: M \to \operatorname{Alb}(M)$、基点を取ることによって定義されます $p_0 \in M$ と基礎 $\omega_1, \dotsc, \omega_q \in H^0(M, \Omega_M)$、および設定 $$\mu(p) := \left(\int_{p_0}^p \omega_1, \dotsc, \int_{p_0}^p \omega_q\right).$$

私の質問：

1. そのタプルはどういう意味ですか？つまり、私がの基礎を選択した場合$H^0(M, \Omega_M^1)^*$、タプルは基本要素の係数である可能性があります。しかし、どのような根拠を選ぶべきでしょうか？デュアルから$\omega_1, \dotsc, \omega_q$？
2. 定義が選択に依存しないことは明らかですか $\omega_1, \dotsc, \omega_q$？

Answer 1

根拠は関係ありません。基点を修正する$p_0$ そして $p$任意のポイント。道を進む$\gamma$ から $p_0$ に $p$。次に、任意の1形式があります$\omega$ 積分 $\int_{\gamma} \omega$ これは地図を与えます $(p,\gamma)\to H^0(\Omega^1)^*$ したがって、 $H^0(\Omega^1)^*/H_1(\mathbb{Z})$。これが依存していないことを確認してください$\gamma$ したがって、からマップを取得します $M\to H^1(\Omega^1)^*/H^1(\mathbb{Z})$。

Answer 2

のより良い定義 $\mu$ モハンによる答えで与えられます：

$$ \mu(p) = \int_{p_0}^p\cdot, \quad \text{i.e.} \quad \mu(p)(\omega) = \int_{p_0}^p \omega.$$

これがグリフィスとハリスの定義と一致することを確認するには、基底を選択します $\omega_1, \dotsc, \omega_q \in H^0(\Omega^1)$、および双対基底 $\delta_1, \dotsc, \delta_q$。書く$\omega = \sum_i c_i \omega_i$。次に$$\mu(p)(\omega) = \int_{p_0}^p \omega = \sum_i c_i \int_{p_0}^p \omega_i = \sum_i \delta_i(\omega) \int_{p_0}^p \omega_i,$$ すなわち $\mu(p) = \sum_i \delta_i \int_{p_0}^p \omega_i$。