マップはいつ具体的なカテゴリの構造を誘発しますか？
しましょう $C$ 具体的なカテゴリーにしましょう $A$ セットになりましょう $B$ のオブジェクトになる $C$、そして $f$ からの関数である $A$ の基礎となるセットに $B$。それでは、オブジェクトは常に存在しますか$C$ その基礎となるセットは $A$ そのような $f$ の射です $C$？で、もし$f$ 全単射である場合、オブジェクトは常に存在しますか $C$ その基礎となるセットは $A$ そのような $f$ の同型写像です $C$？
これらの質問に対する答えは「いいえ」だと思いますが、一方または両方の質問に対する答えが「はい」である具体的なカテゴリの名前はありますか？順序を入れ替えたらどうなるか$A$ そして $B$、オブジェクトに変換されているセットがドメインではなく関数の終域になるように？
地図を介して集合に構造を誘導することは数学では非常に一般的な構造であり、それが圏論的起源であるかどうか疑問に思っているので、私は尋ねます。
回答
あなたは基本的にコンクリートファンクターのリフティングプロパティについて質問しています$U: C \rightarrow \underline{Set}$。これにより、これに関する参照をさらに検索したい場合に何を検索するかがわかります。ファンクターのターゲットカテゴリが他のものである場合にも、これらのプロパティを調査できることに注意してください$\underline{Set}$。
射を持ち上げることができる関手は非常にまれです。確かに、具体的なカテゴリの概念はほとんどの機能がであるという理由だけで、一般的に、具体的なカテゴリの忘却関手がこのプロパティを持っているとは期待しません。$\underline{Set}$ 具体的な圏を構成するよりも構造の射ではありません。
全単射のみを持ち上げることができる場合（一般的なターゲットカテゴリでは同型写像のみを持ち上げることができます）はよく知られており、研究されており、問題の関手はアイソフィブレーションと呼ばれています。そのようなケースがたくさんあるというあなたの直感は、とりわけ、モナドの代数のカテゴリーからの忘却関手が常にisofibrationであるという事実から来ています。
いいえ。カテゴリを検討してください $1$ 1つのオブジェクトと1つの射（アイデンティティ）を使用して、ほぼすべての方法でそれをSetにマップします。