$\mathbb N$ フィールドです
全単射を見つける $\phi$ の間に $\mathbb N$ そして $\mathbb Q$。したがって、加算と乗算を対応して定義する$\mathbb N$ (そのような $\phi$ 準同型になる)変換 $\mathbb N$ フィールドに。
私の推論に間違いはありますか?
回答
フィールドは単なるセットではなく、いくつかの追加の構造(2つのフィールド操作)を備えたセットです。ですから、それは完全に真実ではありません$\mathbb{Q}$ フィールドです-むしろ、 $(\mathbb{Q};+,\times)$ フィールドです。
全単射は「輸送構造:」 $\oplus,\otimes$ いくつかのセットの二項演算です $A$ そのような $(A;\oplus,\otimes)$ フィールドであり、 $f:A\rightarrow B$全単射です、私たちは与えることができます$B$自然な方法でのフィールドの構造:操作を検討する$\hat{\oplus}$ そして $\hat{\otimes}$ によって与えられた $$x\hat{\oplus} y=f(f^{-1}(x)\oplus f^{-1}(y))\quad\mbox{and}\quad x\hat{\otimes}y=f(f^{-1}(x)\otimes f^{-1}(y))$$ ために $x,y\in B$。しかし、セット $B$それ自体はフィールドではありません。むしろ、構造 $(B; \hat{\oplus},\hat{\otimes})$ フィールドです。
特に、いつもの物を持ち上げるとき $+$ そして $\times$ お気に入りの全単射に沿って $h:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{N}$、操作を取得します $\hat{+}$ そして $\hat{\times}$ そのような $(\mathbb{N};\hat{+},\hat{\times})$はフィールドですが、これらの演算は非常に奇妙に見えます。特に、これまでの自然数の通常の加算や乗算とはまったく異なります。したがって、この結果と次の事実との間に緊張関係はありません。$(\mathbb{N};+,\times)$明らかにフィールドではありません。
間違いはありません。実際、無限集合はフィールドに変えることができます。で定義する操作に注意してください$\mathbb N$ この方法は、自然数の通常の加算と乗算とは必然的に異なります(通常の演算では、自然数は体ではないため)。
通常の対角マッピングを使用しますが、正の値と負の値を交互に使用し、「最低項ではない分数」の重複表現をスキップすると、最初のいくつかの項が次の全単射になります。
$$1\mapsto 0; 2\mapsto 1;3\mapsto -1; 4\mapsto 2;5\mapsto -2; 6\mapsto \frac 12; 7\mapsto -\frac 12; 8\mapsto 3;9\mapsto -3;10\mapsto \frac 13;11\mapsto -\frac 13; 12\mapsto 4;13\mapsto -4; 14\mapsto \frac 32; 15\mapsto -\frac 32; 16\mapsto \frac 23; 17\mapsto -\frac 23; 18\mapsto \frac 14;19\mapsto -\frac 14... etc...$$
これがフィールドです。加法単位元は$1$ そして $1 + k = k+1 = k$ すべてのために $k \in \mathbb N$。
すべての値、 $k$ 反数があり、 $-k$ そのため $k+(-k)= 1$。たとえば、の反数$4$ です $-4 =5$ そして $4+5 = 1$。同様に$-11 = 10$ そして $11 + 10 = 1$。
乗法的単位元は $2$ そして $2\cdot k = k\cdot 2 = k$ すべてのために $k \in \mathbb N$。
そしてすべての価値のために $k$ を除いて $1$、は逆数になります $\frac 1k$ どこ $k\cdot \frac 1k = 2$。例えば$\frac 14 = 6$ そして $4\cdot 6 = 2$。
等々。
私がしたのは「通常の」有理数をそれらにマッピングするものに置き換えることだけだったので、これはすべて理にかなっています。私がメモをとるなら$k \color{blue}{\mapsto m}$ 私が「本当に」意味することを表し、上に書いたものをカットアンドペーストすると、次のようになります。
..........。
これがフィールドです。加法単位元は$1\color{blue}{\mapsto 0}$ そして $1\color{blue}{\mapsto 0} + k = k+1\color{blue}{\mapsto 0} = k$ すべてのために $k \in \mathbb N$。
すべての値、 $k$ 反数があり、 $-k$ そのため $k+(-k)= 1\color{blue}{\mapsto 0}$。たとえば、の反数$4\color{blue}{\mapsto 2}$ です $-4\color{blue}{\mapsto 2} =5\color{blue}{\mapsto -2}$ そして $4\color{blue}{\mapsto 2}+5\color{blue}{\mapsto -2} = 1\color{blue}{\mapsto 0}$。同様に$-11\color{blue}{\mapsto -\frac 13} = 10{\mapsto \frac 13}$ そして $11\color{blue}{\mapsto -\frac 13} + 10\color{blue}{\mapsto \frac 13} = 1\color{blue}{\mapsto 0}$。
乗法的単位元は $2\color{blue}{\mapsto 1}$ そして $2\color{blue}{\mapsto 1}\cdot k = k\cdot 2\color{blue}{\mapsto 1} = k$ すべてのために $k \in \mathbb N$。
そしてすべての価値のために $k$ を除いて $1\color{blue}{\mapsto 0}$、は逆数になります $\frac 1k$ どこ $k\cdot \frac 1k = 2\color{blue}{\mapsto 1}$。例えば$\frac 1{4\color{blue}{\mapsto 2}} = 6\color{blue}{\mapsto \frac 12}$ そして $4\color{blue}{\mapsto 2}\cdot 6\color{blue}{\mapsto \frac 12} = 2\color{blue}{\mapsto 1}$。
等々。