Mathematicaは三角積分を出力します（ $\sec^3$）証明できない形で

Question

不定積分はもちろんです $1/2 ( \sec(x) \tan(x) + \ln | \sec(x) + \tan(x) | ( + C)$。

Mathematicaは以下を提供します：

Integrate[Sec[x]^3, x]

1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x])

ザ・ $1/2 \sec(x) \tan(x)$ そこにありますが、数学の対数が本当にあることを証明するために数時間を費やしました $\ln | \sec(x) + \tan(x) |$、そして私はそれをすることはできません！ザ・$x/2$ハーフアングルは私のためにスパナを作品に投げ込みます。彼らは私にはとても間違っているように見えます、それは逆角度の公式のようなものです。正方形を見たいところに平方根があります。

明らかな何かが欠けていると確信していますが、私はそれを見ることができません！

Answer 1

微分し、対数を組み合わせ、半角の公式とアイデンティティを使用して逆方向に作業します $1+\tan(x)^2 = \sec(x)^2$

FullSimplify[
 D[1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x]), x]
]
(* result: Sec[x]^3 *)

あなたが最初に見せればあなたは自分でそこに着くことができます：

FullSimplify[-(-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
  Cos[x/2] - Sin[x/2]) + (1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
  Cos[x/2] + Sin[x/2])]

(* Sec[x] *)

上記の結果を得るには、それを共通の分母全体に配置するとどうなるかを見てください。

Together[-((-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(Cos[x/2] - Sin[x/2])) + (
  1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(Cos[x/2] + Sin[x/2])]

(* (Cos[x/2]^2 + Sin[x/2]^2)/
 ((Cos[x/2] - Sin[x/2]) (Cos[x/2] + Sin[x/2])) *)

分子は明らかにアイデンティティによって1です $\cos(\theta)^2+\sin(\theta)^2=1$ 分母は $\cos(x)$半角で。これを確認するには、分母を展開します$d=\left(\cos \left(\frac{x}{2}\right)-\sin \left(\frac{x}{2}\right)\right) \left(\sin \left(\frac{x}{2}\right)+\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right)$ 取得するため $d=\cos ^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin ^2\left(\frac{x}{2}\right)$。次に、$d = 1-2 \sin ^2\left(\frac{x}{2}\right) = \cos(x)$ そして $1/d$ です $\sec(x)$

...そして残りの導関数について：

FullSimplify[1 - Sec[x]^2]
(* Tan[x]^2 *)

したがって、次のようになります。

D[1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x]), x]

(* 1/2 (Sec[x]^3 - (-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
   Cos[x/2] - Sin[x/2]) + (1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
   Cos[x/2] + Sin[x/2]) + Sec[x] Tan[x]^2) *)

(* == (Sec[x]^3 + Sec[x] (1 + Tan[x]^2))/2 *)
(* == (Sec[x]^3 + Sec[x]^3)/2 == Sec[x]^3 *)