滑らかな多様体の包含マップ

Question

与えられた滑らかな多様体 $M$ そしてそれは部分多様体です $S$（例：のオープンサブセット $M$）包含マップがあります $i:S\to M$。

そして私たちは扱います $i$ なので $i(x) = x$ 通常。

例えば $i:S^n \to \mathbb{R}^{n+1}$ 定義するのに有効です $i(x) = x$ しかし、それは例えば包含ではないようです $i:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{n+1}$ なので $(x_1,...,x_n) \to (x_1,...,x_n,0)$

だから私はここに含めるための定義は何ですか？私たちはそれを次のように扱うべきですか？ $i(x) = x$？

この「包含」は、デフォルト設定のトポロジカル埋め込みですか？

ここで説明を見つけました

Answer 1

実際には、より深い微妙な点があります。部分多様体の概念は、多くの混乱を招く可能性があります。部分多様体を浸漬したいですか、埋め込まれた部分多様体にしたいですか？

浸漬部分多様体 $S$ の多様体の $M$浸漬下のマニホールドの画像です。浸漬は単射誘導体とのスムーズなマップです。

埋め込みは、トポロジカル埋め込み、つまり、画像への同相写像（部分空間トポロジに関して）であり、これも単射浸漬です。

注！：浸漬は必ずしも単射である必要はなく、トポロジカルな埋め込みでもありません。

Answer 2

インクルージョンマップは常に次のように定義されます $i(x) = x$ 。

私たちが呼ぶ理由 $(x_1,...,x_n) \to (x_1,...,x_n,0)$ インクルージョンマップは、この形式の座標表現の下にありますが、埋め込み部分多様体の場合 $S\subset M$。包含は$i(x) = x$

滑らかな多様体について話すとき、包含マップがトポロジカルな埋め込みであると想定すべきではありません。

場合 $S\subset M$ 滑らかに浸された部分多様体として、そして $S$ 部分空間トポロジーを持っている、私たちは仮定することができます $i$ トポロジカル埋め込みとして