なぜ $\boldsymbol\nabla\times(\boldsymbol\nabla\times\mathbf{u})\neq\boldsymbol\nabla(\boldsymbol\nabla\cdot\mathbf{u})-\nabla^2\mathbf{u}$?

Aug 24 2020

いくつかのベクトル場についてはよく知られています $\mathbf{u}$ 以下が成り立ちます: $$ \boldsymbol\nabla\times(\boldsymbol\nabla\times\mathbf{u})=\boldsymbol\nabla(\boldsymbol\nabla\cdot\mathbf{u})-\nabla^2\mathbf{u}.$$

単位ベクトルを使用した円筒座標の次のベクトル場について考えてみましょう。 $\hat{\mathbf{r}}, \hat{\boldsymbol\phi}, \hat{\mathbf{z}}$

$$\mathbf{A}=0\hat{\mathbf{r}}+1\hat{\boldsymbol\phi}+0\hat{\mathbf{z}}.$$

円筒座標フレームの場合、発散、回転、およびラプラシアンはそれぞれ次のように記述されます。

$$\boldsymbol\nabla\cdot\mathbf{A} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rA_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} + \frac{\partial A_z}{\partial z},$$ $$\boldsymbol\nabla\times\mathbf{A}=\left(\frac{1}{r}\frac{\partial A_z}{\partial\phi}-\frac{\partial A_\phi}{\partial z}\right)\hat{\mathbf{r}}+\left(\frac{\partial A_r}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial r}\right)\hat{\boldsymbol\phi}+\left(\frac{1}{r}\frac{\partial(rA_\phi)}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial A_r}{\partial \phi}\right)\hat{\mathbf{z}},$$ $$\nabla^2 =\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}.$$

一方では、これらの式を使用した左側について、次のようになります。

$$\boldsymbol\nabla\times\hat{\boldsymbol{\phi}} = \frac{\hat{\mathbf{z}}}{r},$$ そして

$$\boldsymbol\nabla\times\frac{\hat{\mathbf{z}}}{r}=\frac{\hat{\boldsymbol\phi}}{r^2}.$$

ただし、その一方で、右側のすべての部分はゼロになるため、 $1$ゼロに等しい。私はどこが間違っていますか?

回答

1 lR55 Aug 25 2020 at 04:27

$\nabla^2 =\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$ スカラー場にのみ使用されることになっています。

ただし、ベクトル場の場合、ラプラシアンが次の式で与えられることを確認するのは簡単です。

$$\nabla^2 \mathbf{u}= \hat{\boldsymbol\rho}\left(\nabla^2 u_r-\frac{u_r}{r^2}-\frac{2}{r^2}\frac{\partial u_\phi}{\partial \phi}\right)+\hat{\boldsymbol\phi}\left(\nabla^2 u_\phi-\frac{u_\phi}{r^2}+\frac{2}{r^2}\frac{\partial u_r}{\partial \phi}\right)+\hat{\mathbf{z}}\nabla^2u_z.$$

与えられたベクトル場に対して、 $u_r=u_z =0, u_\phi = 1$、およびラプラシアンはに等しくなります $$\nabla^2 \hat{\boldsymbol{\phi}}=-\frac{\hat{\boldsymbol{\phi}}}{r^2}.$$

だから、それはそれを意味します $\boldsymbol\nabla\times(\boldsymbol\nabla\times\mathbf{u})=\frac{\hat{\boldsymbol{\phi}}}{r^2}=\boldsymbol\nabla(\boldsymbol\nabla\cdot\mathbf{u})-\nabla^2\mathbf{u}=-(-\frac{\hat{\boldsymbol{\phi}}}{r^2})$、したがってアイデンティティが保持されます。