なぜですか $1 - \lambda_{\max} (\mathrm A^\top \mathrm A) = \lambda_{\min} (\mathrm I - \mathrm A^\top \mathrm A)$

Question

Aを非正方行列とします。次の等式が真であるのはなぜですか？

$$1 - \lambda_{\max} (\mathrm A^\top \mathrm A) = \lambda_{\min} (\mathrm I - \mathrm A^\top \mathrm A)$$

試み：

正方行列の固有値から $X$、はの固有値の逆数です $X^{-1}$、 我々は持っています：

$$\lambda_{\max}(\mathrm A^\top \mathrm A) = \frac{1}{\lambda_{\min}((\mathrm A^\top \mathrm A)^{-1})}$$

私は次のものを持っています：

$$\lambda(I - \mathrm A^\top \mathrm A) = 1 - \lambda(\mathrm A^\top \mathrm A)$$

$$\lambda_{\min}(I - \mathrm A^\top \mathrm A) = \frac{1}{\lambda_{\max}((I - \mathrm A^\top \mathrm A)^{-1})}$$

Answer 1

証明したいことは非常に単純で、形式の行列だけでなく、すべての正方行列に当てはまります。 $A^TA$。 $\nu$ の固有値は $P$ iff $1-\nu$ の固有値は $I-P$。したがって、の固有値は$I-P$ の形式です $\nu=1-\lambda$ どこ $\lambda$ の固有値は $P$。最小限にとどめ、$\nu_\min=(1-\lambda)_\min=1-\lambda_\max$ 以来 $1-\lambda$ 最小化されるとき $\lambda$ 最大です。