なぜですか $i\epsilon$-クライン-ゴルドン伝搬関数で処方箋が必要ですか?

Dec 27 2020

クライン-ゴルドン伝搬関数を評価するとき、P&Sの本の中で、p。31、私はそれを見る、それは極をシフトして追加するのが通例です$i\epsilon$分母に。なぜこれが必要なのかわかりません。なぜ複雑な分析を使用できないのですか?次の手順の何が問題になっていますか?

\begin{align} \int \frac{e^{ibz}}{z^2-a^2}\, dz &= (2\pi i) \left[\lim_{z\rightarrow a} (z-a) \frac{e^{ibz}}{z^2-a^2} + \lim_{z\rightarrow -a} (z+a) \frac{e^{ibz}}{z^2-a^2}\right] [\mathrm{Residue~theorem}]\nonumber\\ % &= (2\pi i) \left[\lim_{z\rightarrow a} \frac{e^{ibz}}{z+a} + \lim_{z\rightarrow -a} \frac{e^{ibz}}{z-a}\right]\nonumber\\ % &= (2\pi i) \left[ \frac{e^{iba}}{2\,a} - \frac{e^{-iba}}{2\,a}\right]\nonumber\\ % &= \frac{i\pi}{a} \left[ e^{iba} - e^{-iba}\right]\nonumber\\ % &= - \frac{2\, \pi\, \sin{ba}}{a} \end{align}

このように進めると何がうまくいかないのですか?統合だけではいけません$p^0$ のために行われるように $z$-変数?明らかに、$a$ の機能になります $\vec{p}$ そして $m$

回答

6 kaylimekay Dec 27 2020 at 20:37

計算しようとしている元の積分は、閉じた輪郭ではなく実数直線上にあるため、輪郭を閉じる適切な方法が見つかるまで、コーシーの定理は適用されないことに注意してください。指数因子の存在により$e^{ibz}$、あなたが書いたように、上半平面の輪郭を閉じることができます $\mathrm{Re}\, b>0$。そうだとしましょう。これで、2つの極が実際に実数直線上にあるため、それらを迂回する方法も指定する必要があります。上の輪郭を閉じており、両方の残差を拾っているので、これらの2つの極の下を通過していることを意味します。あなたがそれらの上を通過した場合、それらはあなたの輪郭の外側にあり、貢献しません。あなたは2つの極の下を通過しているので、2つの極が複素平面上で微小な量だけ上にシフトしていると言って、あなたがしたことを同等に説明できます。$+i\epsilon$。これにより、実際の軸に沿って積分するときに、それらの下を通過することが保証されます。だからあなたは実際にいくつかを含めていることがわかります$\epsilon$あなたはそれを認めなかったが、あなたの計算にも。

QFTでの計算では、極を回る正しい物理的処方があります。これはファインマン処方と呼ばれ、上記で行ったものとは異なります。これはP&Sで十分にカバーされています。