なぜですか $x(t)$ 定期的ではありませんが $x[n]$ ですか？
私は信号とシステムを研究してきましたが、この問題に遭遇しました。
定義により、 $x(t)$ 連続時間信号を示し、 $x[n]$ 離散時間信号を示します。
$x(t)$ 定数が存在する場合は周期的です $T>0$ そのような $x(t) = x(t+T)$ すべてのために $t$ 実数のサブセットです。
$x[n]$ 定数が存在する場合は周期的です $N>0$ そのような $x[n] = x[n+N]$ すべてのために $n$ 整数のサブセットです。
それから私はこの質問に出くわしました：なぜですか $x(t)$ 非周期的？
$x(t) = \cos((\pi t^2)/8)$
私が行った作業は次のとおりです。
$x(t+T) = \cos((\pi(t+T)^2)/8$
仮定する $x(t) = x(t+T)$
すなわち $(\pi t^2)/8 + 2\pi k = (\pi(t+T)^2)/8$
$\Rightarrow t^2 + 16k = (t+T)^2 \Rightarrow 16k = T^2 + 2tT $
検討中 $k$は整数ですが、これは周期的ではありませんか？計算が間違っている場合はお知らせください。
無関係なトピックを投稿している場合はお詫び申し上げます。フィードバックをお寄せいただきありがとうございます。
回答
あなたが示した*：
場合 $x(t)$ 定期的です、そしていくつかあります $T>0$ そのような $\dfrac{T^2+2tT}{16}$ すべての実数の整数です $t$。
*編集：コメントで@SHWが指摘しているように、これは完全に真実ではありません。むしろ、
$x(t)$ 定期的である場合に限り $T > 0$ 少なくとも1つが $\dfrac{T^2+2tT}{16}$ または $\dfrac{T^2+2tT + 2t^2}{16}$ すべての実数の整数です $t.$
以来 $T \neq 0$、いくつかあることはかなり明白なはずです $t$ これらの式のどちらも整数を生成しないように、 $x(t)$ 定期的ではありません。
それを証明するために、各整数について、 $k$、ユニークな本物があります $t$ そのような $\dfrac{T^2+2tT}{16} = k$ そして最大2つの実数 $t$ そのような $\dfrac{T^2+2tT + 2t^2}{16} = k.$ 整数は数え切れないほど多いので、数え切れないほどたくさんあります $t$ 少なくとも1つが $\dfrac{T^2+2tT}{16}$ または $\dfrac{T^2+2tT+2t^2}{16}$は整数です。実数は数え切れないほど多いので、実数が必要です$t$ どちらの式も整数を生成しないようにします。
上で述べたように、これは $x(t)$ 定期的ではありません。
一方、私たちは例えばを設定することができます $T=8$ それを見るために $\dfrac{T^2+2tT}{16}$ 常に整数です $t$ は整数で、 $x[n]$ 定期的です。
しましょう $x(t) = \cos(\frac{\pi t^2}{8})$。場合$x(t)$ と定期的です $T$ それから存在します $T \gt 0$ そのような $x(t) = x(t+T)$ すべてのために $t \in \mathbb{R}$。したがって、この場合、$$\cos(\frac{\pi (t+T)^2}{8}) = \cos(\frac{\pi t^2}{8})$$場合 $t = 0$ その後 $\cos(\frac{\pi T^2}{8}) = 1$。双方を差別化して$t = 0$ 我々は持っています $$ T\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$$ その意味は $T = 0$ または $\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$。最初のケースは許可されていないため、次のように結論付けます。$\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$。二度差別化するなら$t = 0$ その後 $$-\frac{\pi}{16} (4 \sin(\frac{\pi T^2}{8}) + \pi T^2 \cos(\frac{\pi T^2}{8})) = 0$$ 結果を組み合わせると、 $T = 0$ によると許可されていません $T \gt 0$。ここで差別化を使用する動機は、$\frac{d}{dt}\cos(u(t)) = -u'(t)\sin(u(t))$ それは私たちが得るのに役立ちます $T$ の外へ $\cos$機能し、矛盾に達します。もちろん、ブライアンの答えははるかにエレガントであり、微分計算を必要としません。