なぜ $\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\mathcal{E})]=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]$？

Question

私の問題：

仮定します $\mathcal{E}$ そして $\mathcal{H}$ サブです$\sigma$-の代数 $\sigma$-代数 $\mathcal{F}$。しましょう$X \in L^1(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ そして $\sigma(X)=\{X^{-1}(A): A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \}$。仮定$\mathcal{E}$ から独立しています $\sigma(\mathcal{H},\sigma(X))$。

次に $$\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\mathcal{E})]=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]$$

私の試み：

特性評価を使ってみました $\mathbb{E}[XZ]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]Z]$ すべてのために $\mathcal{H}$-測定可能で有界の確率変数または $\mathbb{E}[XZ]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\sigma(X))]Z]$ すべてのために $\sigma(\mathcal{H},\sigma(X))$-測定可能で有界の確率変数。

Answer 1

これは、Doobによるよく知られた結果です。

定理：レッツ$\mathscr{A}$、 $\mathscr{B}$ そして $\mathscr{C}$ サブになる-$\sigma$-の代数 $\mathscr{F}$。 $\mathscr{A}\perp_\mathscr{C} \mathscr{B}$ iff $$ \begin{align} \Pr[A|\sigma(\mathscr{C},\mathscr{B})]=\Pr[A|\mathscr{C}]\tag{1}\label{doob-independence} \end{align} $$ すべてのために $A\in \mathscr{A}$。

これがショットプルーフです：

仮定 $\mathscr{A}$ そして $\mathscr{B}$ 条件付き独立性 $\mathscr{C}$、 あれは $$ \Pr[A\cap B|\mathscr{C}]=\Pr[A|\mathscr{C}] \Pr[B|\mathscr{C}] $$ すべてのために $A\in \mathscr{A}$ そして $B\in \mathscr{B}$。次に、$A\in\mathscr{A}$、 $\mathscr{B}$ そして $C\in\mathscr{C}$ 我々は持っています $$ \begin{align} \Pr\big[A\cap\big(C\cap B)\big]&=\Pr\big[ \mathbb{1}_C\Pr[A\cap B|\mathscr{C}]\big]= \Pr\big[\mathbb{1}_C\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B|\mathscr{C}]\big]\\ &= \Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B\cap C|\mathscr{C}]\big]= \Pr\Big[\Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_{B\cap C}\big|\mathscr{C}\big]\Big]\\ &= \Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_{B\cap C}\big] \end{align} $$ 以来 $\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})=\sigma\Big(\{B\cap C: B\in\mathscr{B}, C\in\mathscr{C}\}\Big)$、単調クラスの引数は、 $$ \begin{align} \Pr[A\cap H]=\Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_H \big] \end{align} $$ すべてのために $H\in\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})$。この意味は$$ \Pr[A|\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})]=\Pr[A|\mathscr{C}] $$

逆に、 $\eqref{doob-independence}$保持します。どんな場合でも$A\in\mathscr{A}$ そして $B\in\mathscr{B}$ 我々は持っています \begin{align*} \Pr[A\cap B|\mathscr{C}]=\Pr\Big[\mathbb{1}_{B}\Pr[A|\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})]\Big| \mathscr{C}\Big]= \Pr\Big[\mathbb{1}_B\Pr[A|\mathscr{C}]\Big|\mathscr{C}\Big] =\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B|\mathscr{C}] \end{align*} これは $\mathscr{A}$ そして $\mathscr{B}$ 与えられた独立している $\mathscr{C}$。

確率変数への拡張は、最初に単純な関数に拡張し、次に単純な関数による通常の単調近似によって行われます。