なぜ連続単射ができないのか $\mathbb R$ に $[-1, 1]$ 不連続な逆がありますか？

Question

ここで@Ianは、の特定のプロパティがあると言います$\mathbb R$ と仮想の連続単射機能を妨げる間隔 $\mathbb R$ に $[-1, 1]$不連続な逆を持つことから。このプロパティは何ですか？

Answer 1

連続単射マップ $f$2つの実間隔の間は単調です。場合$f$ が上にある場合、任意の開区間の直接画像は開区間です（上の誘導トポロジーの場合 $[-1,1]$）。

したがって、下の任意の開区間の逆像 $f^{-1}$開いています。それを証明する$f^{-1}$ 継続的です。

Answer 2

そのような $f$存在することはできません。検討する$f(x)=1$、 $a<x<b$、 $f(a)<f(b)$、 $f([a,x])$ 連続写像による連結集合の画像が連結されてからの間隔であり、 $f(a)$ そして $f(x)=1$、以来 $f(a)<f(b)<1$、 を含む $f(b)$。が存在します$c\in [a,x]$ そのような $f(x)=f(b)$。矛盾。

場合 $f(b)<f(a)$、 $f([b,x])$ 含まれる間隔です $f(a)$ 矛盾。