なぜ多項式環を定義するのですか $R[x] := R^{(\mathbb N)}$関数のサブセットとしてではありませんか？[複製]
線形代数では、多項式環を級数の集合として定義し、次に、その集合を環にする加算と乗算を定義します。いくつかの準同型では、多項式のセットの直感的な想像力に対応する構造に到達します。
しかし、なぜ人は定義しないのですか $R[x]$ 特定のプロパティを持つ関数のサブセットとして（例：define $1$ 多項式で再帰的になるとき $f, g$ 多項式です、 $\alpha f$ （（$\alpha \in R$）および $f + g$、 $f \cdot g$多項式です）。なぜ、級数を多項式として解釈し、級数の加算と乗算を明示的に定義する必要がある新しい構造を構築するのですか？関数の概念を使用せずにそうすることの意味はどこにありますか？
回答
これは、異なる多項式が同じ関数につながる可能性があるためです。
たとえば、有限環を考えてみましょう。明らかに有限環上では、1つの変数の関数が有限数あります（より正確には、環が$n$ 要素、そして正確にあります $n^n$さまざまな機能）。しかし、無限に多くの異なる多項式があります（$n\in\mathbb N$、 $x^n$ とは異なる多項式です $x^m, m\ne n$）。
さらに、同じ多項式が異なる多項式関数につながる可能性があります。たとえば、実数の多項式を取ります。次に、実際の代数について$A$、多項式は関数につながります $f:A\to A$ 変数をのインスタンスで置き換えることによって取得されます $A$。明らかに、それは機能だけでは簡単に達成できないものです。$f:\mathbb R\to\mathbb R$。
これが重要な理由の1つは、係数は異なるが同じ関数に対応する多項式を区別できるようにするためです。これは有限体のコンテキストで発生します。たとえば、多項式を区別すると便利です。$p(x) = x$ そして $q(x) = x^3$、これらの2つの多項式は、 $\Bbb F_2$。
多項式自体を研究する動機の外では、多項式が「ドメインにとらわれない」ことが重要です。リングからの係数を持つ多項式を考えているのに$R$、対象の関連関数が次の要素をとる場合は必ずしもそうではありません。 $R$その入力として。特に、同じ多項式が次の関数だけでなく記述していると便利なことがよくあります。$R$、だけでなく、環拡大を介した関数 $\bar R$、または関数以上 $R$-代数 $A$。
線形代数からの例として：与えられた行列 $M \in \Bbb F^{n \times n}$ と多項式 $p \in \Bbb F[x]$、アプリケーションについて話すことができることは非常に便利です $p(M)$。ただし、多項式を定義域を持つ関数として定義する場合、これは意味がありません。$\Bbb F$。
この投稿では、ユニット付きの可換環の領域に住んでいます。
あなたが指輪を持っているとしましょう $R$。素朴に、係数を持つ多項式$R$何かを取るものです（通常は$x$）入力として、見返りに何かを提供します。通常、この何かがの要素であります$R$ そしてあなたはの要素を取得します $R$ 見返りに、しかし、多項式がいくつかのセットの要素を取り、それをこの同じセットの要素に変えることができるように、言うまでもなくこれを残すことが便利であることがわかります。
ただし、多項式には和と積が含まれるため、多項式の「定義域」を設定することはできません。リングである必要があります。さらに、多項式の係数はの要素です$R$、したがって、「ドメイン」はリングにすることはできません。また、 $R$。技術的には、あなたが指輪を持っているなら$S$、の要素による乗算のアイデア $R$ 環準同型の形でエンコードされます $\phi:R\to S$。その後、任意の$r\in R$ そして $s\in S$ 製品を定義できます $rs$ なので $rs=\phi(r)s$。そのようなペア$(S,\phi)$ と呼ばれます $R$-代数。
最後に、多項式の要素による乗算を含め、多項式を評価する前でも、多項式に対して演算を実行できるようにする必要があります。$R$。これは、多項式のセットがリングである必要があることを意味します。$R$-代数も。さらに、任意の要素について$s\in S$ および任意の多項式 $p,q$、欲しい $(p+q)(s)=p(s)+q(s)$ そして $(pq)(s)=p(s)q(s)$：つまり、評価が必要です $p\mapsto p(s)$ を尊重する環準同型であること $R$-乗算。したがって、次の定義のアイデアが得られます。
指輪を与えられた $R$、私たちは持っていたいと $R$-多項式環と呼ばれる代数 $R[x]$ これは、次のプロパティを満たします。 $R$-代数 $S$ （これは、「の要素による乗算」が含まれるリングです。 $R$ 理にかなっている」）および任意の要素 $s\in S$、評価マップがあります $\operatorname{ev}_s:R[x]\to S$ これは環準同型であり、 $R$-多項式が $x\in R[x]$ にマップされます $s\in S$。さらに、評価準同型は一意である必要があります。
の通常の定義が判明します $R[x]$一部の正式な合計と積がこの定義を満たしているため。さらに：これ$R[x]$ ユニークです（適切な意味で） $R$-定義を満たす代数。
より抽象的な心を持つ人々にとって、この投稿は $R$-代数 $S$ 1対1の対応があります
$$\left\{\text{elements of $S$}\right\} \leftrightarrow \left\{ \overset{ \displaystyle\text{ring homomorphisms} } { \underset{\textstyle\text{respecting $R$-multiplication}} {R[x]\to S} } \right\}$$
そして、あなたのカテゴリー主義者にとって、結論は、多項式環ということです $R$ 無料の可換です $R$-1要素セットの代数。