ネスビットの不等式に類似した関数のすべての可能な値のセットを見つける

Question

しましょう $x,$ $y,$ $z$正の実数である。のすべての可能な値のセットを見つけます$$f(x,y,z) = \frac{x}{x + y} + \frac{y}{y + z} + \frac{z}{z + x}.$$

これは、ネスビットの不等式に非常に似ているようです。ネスビットの不等式では、この問題について調査して見つけました。ネスビットは、正の実数について$a, b, c,$ その後 $$\displaystyle\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}.$$ただし、問題で述べられている関数は、ネスビットを適用するのと同じ方向ではなく、まったく同じであることに注意してください。分母を組み合わせて1つの大きな分数を形成し、変数を代入して分母を払うことを試みたため、この問題を進展させることに困惑しています。この問題を開始するためにいくつかの助けをいただければ幸いです。

Answer 1

おもう $1 < f(x,y,z) < 2.$ 確かに、 $$\frac{x}{x+y} \geqslant \frac{x}{x+y+z}.$$ 平等は次の場合に発生します $x = 0$ または $z = 0.$

したがって、 $$f(x,y,z) \geqslant \frac{x+y+z}{x+y+z} = 1.$$ だが $x,y,z$ 正の実数なので、 $f(x,y,z) > 1.$

別の $$\frac{x}{x+y} < \frac{x+z}{x+y+z},$$ に相当 $$\frac{yz}{(x+y)(x+y+z)}\geqslant 0.$$ 平等は次の場合に発生します $yz=0.$ そう $$f(x,y,z) < \frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2.$$