任意のフィールド上の内積の平方根をどのように解釈しますか？
内積空間では、標準 $\|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle}$誘導されます。私はほとんどの場合、実数または複素数のいずれかを扱ってきたので、平方根を当然のことと考えました。
Wolframの内積エントリを読む（https://mathworld.wolfram.com/InnerProduct.html）、「ベクトル空間とその上の内積は内積空間と呼ばれます。この定義は、任意のフィールド上の抽象的なベクトル空間にも適用されます。」これは、上の空間のコンテキストで公理を導入した後に言われました。$\mathbb{R}$。
任意のフィールドの平方根を解釈する方法がわからないため、混乱しています。明らかな方法は、それを要素として定義することだと思います$a \in \mathbb{F}$ そのような $a^2 = \langle x,x\rangle$。しかし、私が抱えている問題は、そのような要素が現場に存在するかどうかをどうやって知るかということです。これは環論の標準的な結果ですか？
私の理解では、内積空間（およびノルム空間）は実数または複素数のいずれかでのみ定義されるということです。任意のフィールド上でそれら（または同等のもの）をどのように構築しますか？
回答
主張は意味がありません。ベクトル空間について$V$ 任意のフィールド上 $k$ 双線形形式があります $b(x,y)$。いつ$k=\Bbb{C}$ また、半双線型形式も調べます。これは、自己同型を適用した後、2番目の引数が線形であることを意味します。 $\sigma$フィールドの（複雑な活用）。しかし、それから私たちは考えることができます$V$ として $k^\sigma$ 線形にするためのベクトル空間なので、 $b$ 本当に線形です。
$q(x) = b(x,x)$ 二次形式です。
最初の望ましい特性はそれです $b(x,y)=b(y,x)$ （いつ $char(k)\ne 2$ 二次形式と対称双線形形式の間には1対1の対応があります）。
2つ目は $q(x)=0$ iff $x=0$。その場合$q$ 異方性と言われています。
いつ $k$ 3番目のフィールドがある順序体です：それ $\forall x,q(x)\ge 0$。以前のものでは、これは「$b$ 内積です」。 $\|x\|=\sqrt{q(x)}$ ある種の規範です（ $k$ のサブフィールドではありません $\Bbb{R}$ その後 $\|x\|$実数値ではないため、これは少し異なります）。あなたは私たちがいつも持っていると思いますか$\|x+y\| \le \|x\|+\|y\|$ ？
$\sqrt{q(x)}$ の代数拡大の要素です $k$ 要素のすべての平方根を加算することによって得られます $\ge 0$、それも注文されます $\sqrt{a}\ge \sqrt{b}$ iff $a\ge b$、次に注文の法則を適用します。
実数値のノルムは他のフィールドにも存在することに注意してください。 $\|x\| = 0$ もし $x_1=x_2=0$ そして $=1$ それ以外の場合は、実数値の基準です $k^2$ 任意のフィールドについて、自明な絶対値の基準 $|a|_{tr}= 0$ もし $a=0$ そして $=1$ そうでなければ、そのような $\|ax\|=|a|_{tr} \|x\|$。