二等辺三角形の共線性
Oct 04 2020
ABCDを二等辺三角形にする $AB||CD$、 $AB=12$、 $CD=8$ そして $m(\angle ABC)=60$。に平行$AC$ 使って $B$ 交差する $CD$ に $P$、 $Q$ の中間点です $AB$ そして $G$ オンになっています $BC$ そのような $BG=\frac{BC}3$。
問題は私にそれを証明するように頼む $m(\angle ADC)=120$、空中ブランコは二等辺三角形なので簡単で、ポイント $P$、 $G$ そして $Q$同一線上にありますが、私には理解できないようです。この状況を表すために、次の図を作成しました。
私はの値を計算しました $BG$ そして $QG$ おそらく角度を期待して $QGB$良い値があります（図からは90度のように見えるので）が、そうではないようです。座標を使用して確認できる唯一の解決策ですが、それは非常に面倒なようです。さらに、ここでは使用しないことになっています。
また、点G 'をBCの中央と見なしました。この場合、QGとPGの両方が三角形の中央値になります。しかし、これは私をどこにも連れて行かないようです。何か案は？ありがとう！
回答
1 mathlove Oct 04 2020 at 21:03
しましょう $E$ の交点になる $CA$ と $PQ$。
また、 $F$ の交点になる $PE$ と $BC$。
次に、 $AE=PB$。
以来 $\triangle{FPB}$ そして $\triangle{FEC}$ 似ています、私たちは持っています $$FB:FC=PB:EC=PB:2PB=1:2$$ そこから私たちはそれを見る $F=G$。
だから、3つのポイント $P, G$ そして $Q$ 同一線上にあります。