によって与えられたシーケンスを分析する必要がありますか $ x_{1+n} = \frac{1}{2 + x_{n}}$ 方程式なし $0$？
「収束を証明し、存在する場合は制限を見つける」必要があるときに、再帰によって与えられるシーケンスを使用した演習で問題が発生し、そのような再帰が与えられます。
$$ x_{1+n} = \frac{1}{2 + x_{n}}, x_1 \in (0 ; \infty)$$
制限を見つけるのはかなり簡単です-私は制限がに存在すると思います $ \mathbb{R}$ 次に、制限の算術プロパティを使用します。 $$\lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} x_{n}$$ $$\lim_{n \to \infty} x_{n} = l, l \in \mathbb{R}>0$$
私の再帰を取る： $$l = \frac{1}{2 + l}$$ $$l^2 +2l - 1 = 0$$ $$l_1 = \sqrt{2} - 1 \in D$$ $$l_2 = -1 - \sqrt{2} \notin D$$
だから私の唯一の可能な制限は $ \mathbb{R}$ です $l = \sqrt{2} - 1$。つまり、制限が存在することを実際に証明できる場合です。つまり、シーケンスは単調で有界です。そして、ここに私の問題があります-コンピュータなしで分析することは不可能です：の違い：
$$x_{1+n} - x_{n} = \frac{1}{2 + x_{n}} - x_{n}$$
限界を求めて、方程式の両辺に $ \lim_{n \to \infty} x_{n} = l$ ここでそうすることは不可能なので、私は次のようになります。 $$x_{1+n} - x_{n} = \frac{-x_{n}^2-2x_n+1}{2 + x_{n}}$$
それから私はそれがいつより大きいかわかりません $0$ 単調性を分析するために、どの値についてはわかりませんo $n$ どの値の $n+1$ 最小値がおかしくなるので、私は（境界を取得するために）取得します。
だから私はただ尋ねたくてたまらなかった-私は何かが足りないのか？ここで作ることは可能ですか$x_{1+n} - x_{n} = \frac{-x_{n}^2-2x_n+1}{2 + x_{n}}$ との平等 $0$ より単純な関数（写真の赤い関数）を分析しますか？
回答
これはメビウス変換です。あなたがルーツを手に入れたら$l_1, l_2$ 特性関数の $l^2+2l-1=0$、それはそれに続く $1-2l_1=l_1^2$ そして $1-2l_2=l_2^2$。次に
$$ x_{n+1}-l_1 = \frac{1}{2+x_n}-l_1 = \frac{1-2l_1-l_1 x_n}{2+x_n} = \frac{l_1^2-l_1 x_n}{2+x_n} = -l_1 \frac{x_n-l_1}{2+x_n} \tag 1 $$
同様に $$ x_{n+1}-l_2 = -l_2 \frac{x_n-l_2}{2+x_n} \tag 2 $$
$(1) \div (2)$ （これを行うことができるのは $x_n>0>l_2$）、 $$ \frac{x_{n+1}-l_1}{x_{n+1}-l_2} = \frac{l_1}{l_2}\cdot \frac{x_n-l_1}{x_n-l_2} $$
したがって、 $\frac{x_n-l_1}{x_n-l_2}$ 等比数列です。
$$ \frac{x_n-l_1}{x_n-l_2} = \left(\frac{l_1}{l_2} \right)^{n-1} \cdot \frac{x_1-l_1}{x_1-l_2} \tag3 $$
次に $$x_n=\frac{l_1-\frac{x_1-l_1}{x_1-l_2}\left( \frac{l_1}{l_2}\right)^{n-1} \cdot l_2}{1- \frac{x_1-l_1}{x_1-l_2}\left(\frac{l_1}{l_2}\right)^{n-1}}$$
なので $n\to \infty, \left(\frac{l_1}{l_2}\right)^{n-1} \to 0, x_n \to l_1 = \sqrt 2 - 1$。
行列を使用して解くには、例としてここを参照してください。
$$X_{n+1}=\frac{1}{2+X_n} \implies 2 X_{n+1}+X_{n+1}X_n=1$$ しましょう $X_n=\frac{Y_{n-1}}{Y_n}$、その後 $$2 \frac{Y_{n}}{Y_{n+1}}+\frac{Y_n}{Y_{n+1}}\frac{Y_{n-1}}{Y_n}=1 \implies 2Y_n+Y_{n-1}=Y_{n+1}.$$ しましょう $Y_n=t \implies t^2-2t-1=0 \implies t=1\pm \sqrt{2}.$ そう $$Y_n=p(1+\sqrt{2})^n+q (1-\sqrt{2})^{n} $$ $$\implies X_n=\frac{(1+\sqrt{2})^{n-1}+r(1-\sqrt{2})^{n-1}}{(1+\sqrt{2})^{n}+r(1-\sqrt{2})^{n}}, r=q/p.$$ $$\lim_{n \to \infty}X_{\infty}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$$
でも $x_1$ 任意の正の数にすることができ、すべての用語は $x_2$ 未満 $\frac 12$、だからあなたの限界から遠く離れることはできません。有用なアプローチは、1つの項を制限と誤差項として記述することです。$x_i=\sqrt 2-1+\epsilon$ 次に $$x_{i+1}=\frac 1{2+x_i}=\frac 1{1+\sqrt 2 + \epsilon}\\ x_{i+1}=\frac{\sqrt 2-1}{1+(\sqrt 2-1)\epsilon}\\ x_{i+1}\approx (\sqrt 2-1)-(\sqrt 2-1)^2\epsilon$$ ここで、1次近似を使用して $\frac 1{1+\epsilon}$。このことから、誤差が約1分の1に減少していることがわかります。$6$すべてのステップなので、シーケンスは収束します。より正式なものにするために、次の事実を使用して上からエラーをバインドできます。$x_i \in (0,\frac 12)$。あなたはこれほど速く減少することはありませんが、$1$ 十分です。