の3つの数値ソリューションをすべて見つける $x[(x-2)^2+1]=6$

Aug 18 2020

の3つの数値ソリューションをすべて見つける $x[(x-2)^2+1]=6$

試行錯誤の方法を使って、 $x$、そして1つの可能な解決策は $x=3$。ただし、他に2つの非整数ソリューションがあり、それらを見つける方法がわかりません。

助けてくれてありがとう。

回答

2 SiongThyeGoh Aug 18 2020 at 16:30

$$x(x^2-4x+5)=6$$

$$x^3-4x^2+5x-6=0$$

$$(x-3)(x^2-x+2)=0$$

あなたはただの判別式を確認する必要があります $x^2-x+2$ は負であり、他に本当のルートはないと結論付けます。

他の根を見つけることに興味がある場合は、二次方程式を使用して残りの根を見つけることをお勧めします。

YvesDaoust Aug 18 2020 at 16:51

教育を受けた試行錯誤による:

演習に簡単な解決策があると仮定すると、整数である可能性があります。 $6$ としての要因 $2\cdot3$ 2番目の要素は完全な平方プラス1であるため、これは除外されます $3$。次に$x=3$ ビンゴです!

今、未知のものをシフトします $x:=z+3$、 私達は手に入れました

$$z^3+5z^2+8z=0$$ または $$z\left(\left(z+\frac52\right)^2+\frac74\right)=0,$$ 解決は簡単です。

Bernard Aug 18 2020 at 16:52

整数解を探す、方程式 $x[(x-2)^2+1]=6$ と同等です $$\begin{cases}x=2,\\(x-2)^2+1=3, \end{cases}\qquad\text{or}\qquad\begin{cases}x=3,\\(x-2)^2+1=2. \end{cases}$$ 最初のシステムの2番目の方程式は、 $(x-2)^2\equiv -1\mod 3$。残念ながら、唯一の正方形のモス。$3$ です $0$ そして $1$したがって、この最初のシステムには解決策がありません。

2番目のシステムの2番目の方程式は $(x-2)^2=1$、すなわち $x-2=\pm 1\iff x=3\;\text{ or }\;x=1 $。のみ$x=3$ 最初の方程式と互換性があります。

したがって、単一の整数解があります。他のソリューションの場合、lhsを展開して、次の式で割り切れる3次方程式を取得できます。$x-3$$$x^3-4x^2+5x-6=0\iff (x-3)(x^2-x+2)=0$$

二次方程式 $x^2-x+2=0$ 複素共役根を持っています: $$x=\frac{1\pm i\sqrt 7}2.$$