のベクトル場のキリング方程式を解きます $\mathbb{R}^2$ ユークリッド距離で
私はベクトル場を知っています $$X = a_1\partial_1 + a_2\partial_2$$ どこ $a_1,a_2 : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ スムーズで、キリングフィールドです $\mathbb{R}^2$ ユークリッド距離で $dx_1^2 + dx_2^2$。
私は殺害方程式を解かなければなりません $$\mathcal{L}_X(dx_1^2 + dx_2^2) = 0$$ ために $a_1$ そして $a_2$。
リー微分の定義を使用する必要があることはわかっていますが、それはゼロに等しいことがわかりますが、計算に少し苦労しています。誰かが私を助けてくれますか？
私はカルタンの公式を使うことについて考えていました、それは良いアプローチですか？
回答
しましょう $U$、$V$ そして $X$ 3つのベクトル場であり、 $g$計量テンソル場になります。次に、 \ begin {align} \ left（L_Xg \ right）（U、V）＆= X \ cdot g（U、V）-g（L_XU、V）-g（U、L_XV）\\＆= g（ \ nabla_XU、V）+ g（U、\ nabla_XV）-g（L_XU、V）-g（U、L_XV）\\＆= g（\ nabla_XU-L_XU、V）+ g（U、\ nabla_XV-L_XV） \\＆= g（\ nabla_UX、V）+ g（U、\ nabla_VX）\ end {align} したがって、$L_Xg=0$ すべてのベクトル場の場合のみ $U$ そして $V$、 $$ g(\nabla_UX,V) + g(U,\nabla_VX) = 0 $$ つまり、次の場合に限ります $\nabla X : U \mapsto \nabla_UX$ はスキュー対称演算子です。
その場合 $g$ のユークリッド距離です $\mathbb{R}^2$、すべてのベクトル場 $U$ のスムーズな組み合わせです $\partial_1$ そして $\partial_2$、および $$ L_Xg = 0 \iff g(\nabla_{\partial_1}X,\partial_1) = 0,~ g(\nabla_{\partial_1}X,\partial_2) \text{ and } g(\nabla_{\partial_1}X,\partial_2) = -g(\partial_1,\nabla_{\partial_2}X) $$ 場合 $X = a_1\partial_1 + a_2 \partial_2$、 それを思い出します $\partial_1$ そして $\partial_2$ 並列です $g$、および： \ begin {align} \ nabla _ {\ partial_1} X＆= \ nabla _ {\ partial_1} \ left（a_1 \ partial_1 + a_2 \ partial_2 \ right）\\＆=（\ partial_1a_1）\ partial_1 +（\ partial_1a_2 ）\ partial_2 \\ \ nabla _ {\ partial_2} X＆= \ nabla _ {\ partial_2} \ left（a_1 \ partial_1 + a_2 \ partial_2 \ right）\\＆=（\ partial_2a_1）\ partial_1 +（\ partial_2a_2）\ partial_2 \ end {align} したがって、$X$\ begin {align} \ partial_1a_1＆= 0、＆\ partial_2a_2＆= 0、＆\ partial_1a_2＆=-\ partial_2 a_1 \ end {align}の場合に限り、キリングベクトル場です 。計算を続行します。
重要なコメントカルタンの魔法の公式には注意してください。それはのためにそれを言う微分形式 $\omega$、 $L_X \omega = (d\circ i_X + i_X\circ d)\omega$。テンソルは、一般に微分形式ではありません。これが意味をなさない単純な理由はこれです：どのように定義しますか$dg$ いつ $g$ 計量テンソルですか？