の範囲内で作成できる長方形の数 $5 \times 5$ 平方？
私の友人と私はゲームをデザインしていて、可能な動きがいくつあるかを理解しようとしています。このゲームには5x5のグリッドがあり、プレーヤーはそのグリッド内に正の自然寸法の長方形を描画する必要があります。可能な長方形はいくつ描画できますか？次に例を示します。赤い長方形は有効な移動です（赤い長方形が自然な寸法であると仮定します）。
各列に5つあると思っていました！可能な幅、および各列には5つあります！可能な高さであり、各長方形は25の可能な場所のいずれかで開始できますが、2x2が3つのコーナーで開始する場合（たとえば）、2x2を描画できなかったという事実を処理する方法がわかりません。
回答
あなたはこのようなことをすることができます：
行と列の2つのペアが長方形（つまり、1つずつ正方形）を表していることに注意してください。したがって、垂直線と水平線の2つのペアは、一意の長方形になります。がある$\binom62=15$ 垂直線を選択する方法、および $\binom62=15$水平線を選択する方法。それは合計$15\cdot15=\boxed{225}$ 長方形を形成する方法。
これは、組み合わせ論における古典的な問題です。このような長方形を作成する方法を考えてください。長方形は、2本の異なる垂直線と2本の異なる水平線を選択することによって形成されます。これらは長方形を一意に決定します。
がある $\binom62=15$ 2本の垂直線を選択する方法と $\binom62=15$2本の水平線を選択する方法。それからあります$15^2=\boxed{225}$ 合計で方法。
これはそれについて考える別の方法です。
対角線上にある2つの頂点を選択します。最初の頂点は任意です（$36$ 可能性）および2番目を同じ行または列に含めることはできません（ $25$可能性）。次に、各長方形には対角線を選択する4つの方法があります（各対角線は2つの方法で選択できます）。$4$ 取得するため $225$ 他の人がしたように。
あなたが問題について考えているのを見るのは良いことです。これらの組み合わせ問題では、何を何をどの順序で数えるかを慎重に選択することで、物事を単純化できます。また、重複を排除することを忘れない限り、単純な計算で同じオブジェクトを複数回カウントするかどうかは問題ではありません。この重複排除は、明らかに単純なアプローチを台無しにする可能性があります。この提案された方法は、両方の側面を示し、非常に単純なままであるため、ここに入れました。時にはそれが最善の方法を提供します。