の左剰余類 $H$ に $G$ パーティション $G$

Question

しましょう $G$ グループになり、 $H$サブグループ。次に、の左剰余類$H$ に $G$ パーティション $G$。特に、$(1)$ 各 $a$ ∈Gは、ちょうど1つの左剰余類にあります。 $aH$、および $(2)$ もし $a, b \in G$、次にどちらか $aH = bH$ または $aH \cap bH = \emptyset $。

一部 $(2)$終わらせる。私の問題の一部は$(1)$、私はこれを試しましたが、本当にわかりません：

しましょう $a\in G$、私たちはそれを持っています $e\in H$、 そう $a\in aH$、以来 $a=ae$。これは$a$ いくつかの左剰余類にあります、すなわち $aH$。

今なら $a\in aH$ そして $a\in bH$、私たちはそれを持っています $a=ae=abh$、 そう $bh=e$ したがって $a$ ちょうど1つの左剰余類にあります。

私は正しいですか？

Answer 1

あなたが証明したと仮定して（2）私は続行します：

$\mathbf{Theorem 1:}$ ために $a,b \in G$ 証明してください $aH=bH$ iff $a^{-1}b \in H$。

$\mathbf{Theorem 2:}$ ために $a,b \in G$ 証明してください $b \in aH$ iff $a^{-1}b \in H$

その場合、次の条件は同等です。 $$b \in aH \equiv a^{-1}b \in H \equiv aH=bH$$ 以来 $e \in H, a=ae \in aH$。しましょう$a \in bH$。次に$aH=bH$。したがって、$a$ ちょうど1つの左剰余類に属しています。