の可換性 $I$ そして $Y$ スタビライザーコードで

Question

しましょう $P_1 = \lbrace I, -I, iI, -iI, X, -X, iX, -iX, Y, -Y, iY, -iY, Z, -Z, iZ, -iZ\rbrace$。しましょう$P_n$ である $n$-テンソルフォールド $P_1$。2人のオペレーターがどちらかが通勤すると言われています$AB = BA$ または逆通勤の場合 $AB = -BA$ すべてのために $A,B \in P_n$。

持っていきましょう $n=1$ そして $A=I$ そして $B=Y$、それから私達は持っています：

\begin{align*} IY &\stackrel{\text{true}}{=} YI,\\ IY &\stackrel{\text{true}}{=} -YI. \end{align*}

言い換えると、 $I$ そして $Y$通勤と通勤防止の両方。完全を期すために、matlabコードスニペットも追加しました。

I = [1 0; 0 1];
Y = [0 -i;i  0];
if isequal(I*Y,Y*I)
   disp('commute') 
end
if isequal(I*Y,-Y*I)
   disp('ANTI-commute') 
end

私はダニエル・ゴッテスマンの博士論文を参照しています。

何が足りないのですか？

編集：私のMatlabコードは、ifステートメントの1つだけを実行する必要があります（両方ではありません）。私のマシンは以前の回答をキャッシュしていたようです。プログラムを再起動すると、問題が修正されました。

Answer 1

そのはず $IY \ne - YI$ の代わりに $IY = - YI$。 $$IY \ne - YI \\ \begin{pmatrix} 1&0\\ 0& 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&-i\\ i& 0 \end{pmatrix} \ne -\begin{pmatrix} 0&-i\\ i& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\ 0& 1 \end{pmatrix} \\ Y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i& 0 \end{pmatrix} \ne -\begin{pmatrix} 0&-i\\ i& 0 \end{pmatrix} = -Y $$

そう $I$ そして $Y$反通勤しないでください。さらに$I$ すべての行列でのみ通勤防止 $0$エントリ。また、$I$ 定義から、すべての行列で通勤します $IM = M = MI$、 どこ $M$ はランダム行列です。

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それどころか、からのすべてのペア $\{X, Y, Z \}$お互いに反通勤。例として：

$$\{X Z \} = XZ + ZX = 0$$

なぜなら $XZ = -ZX$。また、次のような関係があります。$XY = -YX$ そして $YZ = -ZY$ そこから結論を出すことができます $\{XY\} = \{ZY\} = 0$。