の解決策は何ですか $x^3+x=1$?[閉まっている]

Nov 21 2020

Wolfram | Alphaによると、 $x^3+x=1$ おおよそです $0.68233$またはまさにこの怪物

$x_0=\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{2}(9+\sqrt{93})}}{3^{\frac{2}{3}}}-\sqrt[3]{\frac{2}{3(9+\sqrt{93})}}$

$x^3+x=1$とても単純なので、この醜い構成が最も簡単な方法であるとは信じません。私は正しいですか?

回答

4 WillJagy Nov 21 2020 at 21:56

$$ \left( \frac{1}{2} \left( 1 + \sqrt{\frac{31}{27}} \right) \right)^{1/3} + \left( \frac{1}{2} \left( 1 - \sqrt{\frac{31}{27}} \right) \right)^{1/3} $$

2 Quanto Nov 22 2020 at 01:20

あるいは $$x=\frac2{\sqrt3}\sinh\left( \frac13\sinh^{-1}\frac{3\sqrt3}2\right)$$ それほど怪物ではないかもしれません。

1 Angel Nov 22 2020 at 06:48

x ^ 3 + x = 1をx ^ 3 = 1 – xとして再配置し、x = u + vとします。二項定理により、(u + v)^ 3 = u ^ 3 + 3vu ^ 2+であることに注意してください。 3uv ^ 2 + v ^ 3 = u ^ 3 + v ^ 3 + 3uv(u + v)は、u ^ 3 + v ^ 3 = 1であり、-1 = 3uvであることを示しています。-1 = 3uvはv = -1 /(3u)を意味するため、u ^ 3 – 1 /(27u ^ 3)= 1、27u ^ 6 – 1 = 27u ^ 3を意味します。これを27(u ^ 3)^ 2 – 27u ^ 3 – 1 = 0として再配置できます。これはu ^ 3に関する二次方程式であるため、二次方程式を使用してu ^ 3 = [27 + sqrt(93)] / 54またはu ^ 3 = [27 – sqrt(93)] / 54ですが、v ^ 3は常にu ^ 3の共役であるため、実際には問題ではありません。したがって、x = u + v = cbrt([27 + sqrt(93)] / 54)+ cbrt([27 + sqrt(93)] / 54)。これは最終的には投稿されたものと同等であり、そこに到達するには代数的な操作が必要です。そして、はい、これはあなたが答えを書くことができる最も簡単な方法です。それが現実さ。残念ながら、単純な問題には必ずしも単純な解決策があるとは限りません。そして、論理の法則は、とにかく単純さという私たちのちっぽけな概念を気にしません。

1 Jimbo Nov 21 2020 at 23:35

再配置した場合 $x^{3}+x= 1$ なので

$x^{2} + 1 = \frac1x$

次に、添付の図は、いくつかの根の近似から始めて、(実際の)解を繰り返し取得するための代替アプローチを示しています(例: $x_0=0.5$ 図中)、計算 $x_0^{2} + 1$ 最初の反復を取得するには $x_1=\frac{1}{x_0^{2}+1}$等々。正確な解を表現するための避けられない方法と比較すると、0.68233(5 dp)での収束の反復方程式はかなり単純に見えます。

$x_{n+1} = \frac{1}{x_n^{2}+1}$

これが曲線の対称性です(実数のルートを持つ象限のみを示しました)。初期の実数値の選択に制約はありません。 $x_0$ 収束を達成するため。