の機能の不等式 $\arctan(x)$
それを見せたい $$f(x) = \frac{1}{\arctan(x)} - \frac{1}{x} $$ 増加しています $(0, \infty)$。プロットすることではっきりとわかりますが、厳密に書き出すのに苦労しています。明らかに、その導関数がこの範囲で常に正であることを示すだけで十分です(これはプロットからも明らかです)。我々は持っています$$f'(x) = \frac{(1+x^2)\arctan^2(x) -x^2}{x^2(1+x^2)\arctan^2(x)}$$ 繰り返しますが、それを示すだけで十分です $$g(x) \equiv (1+x^2)\arctan^2(x) -x^2 \ge 0 \quad \forall x >0$$(そして、またしても、これはそれをプロットすることから明らかです)。私はの派生物を取ることのうさぎの穴を飛び降りました$g$ 同様に(それが $0$ で $x = 0$ だから、それを示すだけで再び十分でしょう $g' \ge 0$)そしてそれは私にとってすぐに役立つものを何も生み出しません。できれば助けてください
回答
$${1\over 1+x^2}\ge {1-x^2\over (1+x^2)^2}\quad \forall x >0$$ これはの派生物です $${\arctan(x)}\ge {x\over 1+x^2}\quad \forall x >0$$ $${2\arctan(x)\over 1+x^2}\ge {2x\over (1+x^2)^2}\quad \forall x >0$$ これはの派生物です $$\arctan^2(x) \ge {x^2\over 1+x^2}\quad \forall x >0$$
$$(1+x^2)\arctan^2(x) -x^2 \ge 0 \quad \forall x >0$$
代わりに検討してください $ \displaystyle g(x) = \arctan{x} - \frac{x^2}{1 + x^2}$。ご了承ください$g(0) = 0$、それでそれを示すだけで十分です $g'(x) = 0$ ために $x \ge 0$。
さて、 $\displaystyle g'(x) = \frac{2[(1 + x^2)\arctan{x} - x]}{(1 + x^2)^2}$。したがって、検討するだけで十分です。$$h(x) = \arctan{x} - \frac{x}{(1 + x^2)},$$ そしてそれを示す $h(x) \ge 0$ ために $x \ge 0$。だが$h(0) = 0$、および $$h'(x) = \frac{2x^2}{(1 + x^2)^2} \ge 0$$ すべてのために $x$。これで証明は完了です。