の組み合わせ $(0,1)$-行と列の合計が等しい行列

Question

考えてみてください $(2n\times2n)$ -からの要素を持つマトリックス $\{0,1\}$。行と列の合計は次の値と等しくなければなりません$n$それぞれの行と合計に対して。これがの例です$n=2$：

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} $$ に依存するこれらすべての行列の数を見つける方法 $n$？

Answer 1

以下は、私自身の試み（A）と、後で実際に答えを与えているのを見つけた参考文献（B）です。

A）私自身の試み：

ケースを考えてみましょう $n=2$ （一般的な場合に拡張可能なプレゼンテーション）：

皮切りに

$$A=\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right)$$ 左と右の乗算を検討します $JAK$ の $A$ 置換行列による $J$ そして $K$。

この原理を使用して、私は次のようなプログラムを作成することができました。 $18$ ケースの行列 $n=2$。

$$ \Bigl(\begin{smallmatrix} 1& 1& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1 \end{smallmatrix} \Bigr) \Bigl(\begin{smallmatrix} 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0\\ 1& 0& 1& 0 \end{smallmatrix} \Bigr) \Bigl(\begin{smallmatrix} 0& 1& 1& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 1& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 1\\ \end{smallmatrix} \Bigr) \Bigl(\begin{smallmatrix} 0& 0& 1& 1\\ 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1\\ 1& 1& 0& 0 \end{smallmatrix} \Bigr) \Bigl(\begin{smallmatrix} 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0 \end{smallmatrix} \Bigr) \Bigl(\begin{smallmatrix} 0& 1& 1& 0\\ 1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 1& 0& 0& 1 \end{smallmatrix} \Bigr)$$ $$ \Bigl(\begin{smallmatrix} 0& 0& 1& 1\\ 1& 1& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1 \end{smallmatrix} \Bigr) \Bigl(\begin{smallmatrix} 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0\\ 1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1 \end{smallmatrix} \Bigr) \Bigl(\begin{smallmatrix} 0& 1& 1& 0\\ 1& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 1& 0 \end{smallmatrix} \Bigr) \Bigl(\begin{smallmatrix} 1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 1& 0& 0& 1 \end{smallmatrix} \Bigr) \Bigl(\begin{smallmatrix} 1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0 \end{smallmatrix} \Bigr) \Bigl(\begin{smallmatrix} 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 1& 1& 0& 0 \end{smallmatrix} \Bigr)$$

$$ \bigl(\begin{smallmatrix} & 1& 0& 0& 1\\ & 0& 1& 1& 0\\ & 1& 0& 0& 1\\ & 0& 1& 1& 0 \end{smallmatrix} \bigr) \bigl(\begin{smallmatrix} & 1& 0& 1& 0\\ & 0& 1& 0& 1\\ & 1& 0& 1& 0\\ & 0& 1& 0& 1 \end{smallmatrix} \bigr) \bigl(\begin{smallmatrix} & 1& 1& 0& 0\\ & 0& 0& 1& 1\\ & 1& 1& 0& 0\\ & 0& 0& 1& 1 \end{smallmatrix} \bigr) \bigl(\begin{smallmatrix} & 1& 0& 0& 1\\ & 1& 0& 0& 1\\ & 0& 1& 1& 0\\ & 0& 1& 1& 0 \end{smallmatrix} \bigr) \bigl(\begin{smallmatrix} & 1& 0& 1& 0\\ & 1& 0& 1& 0\\ & 0& 1& 0& 1\\ & 0& 1& 0& 1 \end{smallmatrix} \bigr) \bigl(\begin{smallmatrix} & 0& 0& 1& 1\\ & 0& 0& 1& 1\\ & 1& 1& 0& 0\\ &1& 1& 0& 0 \end{smallmatrix} \bigr) $$ しかし、問題は、$\det(A)=0$、この方法で生成したすべての行列にも行列式がありません...そしてそれよりも最悪の場合、次のように行列式がゼロの行列もあります。 $$ \Bigl(\begin{smallmatrix} 1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1 \end{smallmatrix} \Bigr)$$

上記のリストにはありません。

実際には、合計があります $90$ $4 \times 4$ （0-1）2つの行列 $1$■各行および/または列。

そして、 $297200$ $6 \times 6$ （0-1）3つの行列 $1$■各行および/または列。

これらの値は、次の参考資料に記載されています。

http://oeis.org/A008300、および http://oeis.org/A001499、 http://oeis.org/A001501、 http://oeis.org/A058528、 http://oeis.org/A075754、より一般的に http://oeis.org/wiki/Index_to_OEIS:_Section_Mat#binmat

B）数時間後、私は https://ssrn.com/abstract=3158261 Odama、Yumi、Musiker、Gregg著：「（0,1）と整数の二重確率行列の列挙」（2001年12月）、Science Directで、整数の分割に基づく一般式を提供 $N=2n$。一般的な式を理解するのは非常に難しいのに対し、1つの発見（2ページ）は理解できる特定のケースです。

後で、私は発見しました https://math.stackexchange.com/q/1778005 そのような行列がの合計であるという素晴らしい特性 $n$ 通常の2部グラフと自然に関連する置換行列。

興味深い「小さな（0-1）行列の分類」については、を参照してください。 https://arxiv.org/pdf/math/0511636.pdfMiodragZivkovicによるこのタイトルのドキュメント。非常に密度の高いドキュメントも参照してくださいhttps://core.ac.uk/download/pdf/81210541.pdf