のマッピング $f(z)$
関数をしましょう $f$ 複素平面で解析的であり、実軸上で実数であり、原点で0であり、同じようにゼロではありません。
それを証明するなら $f$ 虚軸を直線にマッピングします。その場合、その直線は実軸または虚軸のいずれかである必要があります。
私の努力： $f(z)$ 分析的なiffです $g(z)= \overline{f(\bar z)}$ 分析的でもあります。$f(z)$ と同時に $g(z)$実軸上。シーケンスを検討してください${1/n}$ゼロに収束します。さて、一致の定理を使用して、結論を出すことができます$f(z)=g(z)$ 複素平面上。 $g(z)$ 虚軸を虚軸にマッピングします。 $f(z)$。いつかわからない$f$ 虚軸を実軸にマップします。
回答
しましょう $k \ge 1$ のゼロの次数 $f$原点で; での解析関数のローカル形式による$0$、すなわち、 $f(z)=cz^k+O(z^{k+1}), c \ne 0$、その直後に $f$ 角度を変換します $\theta$ 原点を通過する任意の2つの曲線の間、角度 $k\theta$ （特に $f$ 正確に原点で共形である $k=1$）
実軸と虚軸の間の角度は $\pi/2$、画像間の角度は $k\pi/2$、したがって、仮説により、虚軸は次のような線に送られます。 $k\pi/2$ ある整数の実軸との角度 $k \ge 1$ そのような線は2つしかなく、虚数軸と実軸のどちらかによって異なります。 $k$ 奇数または偶数なので、完了です。
$z^2, z^4$ は仮説を満たし、虚軸が実軸に送られる例です（ただし、一方の場合、2つの画像は、ゼロが2つの半直線である場合を除いて互いに素であり、もう一方の場合、それらは一致します-実数の画像に注意してくださいまたは下の虚軸 $f$ 送信されるフルラインにない場合もあります）、 $z$ それ自体に送信される例です