の値を見つける $~\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{1-2a\cos\theta + a^2}~~~$ ために $~|a|<1~.$ [複製]

Question

留数定理を使用して、の値を見つけます$$~\int_0^{2\pi}\dfrac{d\theta}{1-2a\cos\theta + a^2}$$ ために $~|a|<1~.$

私は積分の値が $~\frac{2\pi}{1-a^2}~$（通常の定積分の法則を使って見つけました）が、留数定理を使って同じものを見つける方法がわかりません。

留数定理を使って完全な解を教えてください。

Answer 1

ヒント $$\cos\theta =\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}.$$ したがって、置換を行う $z=e^{i\theta }$ 収量 $$\int_0^{2\pi}\frac{\,\mathrm d \theta }{1-2a\cos(\theta )+a^2}=\int_{\gamma }\frac{z}{z-a(z^2+1)+za^2}\cdot \frac{1}{iz}\,\mathrm d z,$$ どこ $\gamma $ は単位円です。