のパーティションの複雑さ $\mathbb{R}$ サブセミグループに
この質問への回答では、各有限について$k \geq 1$ 分割することが可能です $\mathbb{R}$ 正確に $k$ それぞれが付加的に閉じられている（つまり、のサブセミグループである）パーツ $(\mathbb{R},+)$）。与えられた議論は、次の事実に依存する帰納的議論です。$\mathbb{R} \cong \mathbb{R}^2$ グループとして、したがって、のために取得されたパーティション $k \geq 4$ とてもいいとは思えません。
私の質問は：与えられた $k \geq 4$、パーティション分割は可能ですか？ $\mathbb{R}$ に $k$ ボレル集合、それぞれが追加で閉鎖されていますか？もしそうなら、ボレル集合がどれほど複雑であるか、そして特にその複雑さが次のように変化するかどうかを知りたいと思います$k$。
回答
これは、目的のプロパティを持つ4つのボレル集合にパーティションを作成できないことの証明です。
まず、加法的に閉集合の場合、 $A$、正の数の間隔が含まれ、次に含まれます $(x,\infty)$ いくつかのための $x$ あるので $n$ どこ $(na,nb)$ と重複する $a+(na,nb)$。だから、十分な大きさのために$n$、あなたはそれを得る $(na,\infty)$ のサブセットです $A$。を取得するために負の数の間隔を含めるための対応するステートメントがあります$(-\infty,x)$ サブセット。
結果は、 $A$ 負の間隔と正の間隔の両方が含まれている場合、 $\mathbb{R}$。パーティションがある場合$A,B,C$ どこ $A$ 正の間隔があり、 $B$ 負の間隔があり、他の唯一のセット $C$ することができます $\{0\}$ 他の加法的に閉じた集合は、 $(x,\infty)$ または $(-\infty,x)$。これは、パーティション化できないことを意味します$\mathbb{R}$ に $4$ セットの1つに正の間隔があり、もう1つに負の間隔がある、さらに閉じたセット。
次に、Borelのパーティションを表示する必要があります。 $(x,\infty)$ とを含むセット $(-\infty,y)$。ボレル集合はすべて測定可能であるため、これらの加法閉集合の少なくとも1つは正の測度を持ちます。それは事実です$A$ 正の測定値があります $A+A$間隔が含まれています。前の段落までに、加法的に閉じられたボレル集合への分割は最大で3つのカーディナリティを持っていることがわかります。
ZFでは、実数のすべてのセットが測定可能であることが一貫していることがわかります。したがって、4つの加法的に閉じたサブセットへの分割がないZFのモデルがあります。