の最大値 $\sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2)$？
それで私は私の教科書で質問に出くわしました：
三角形ABCでは、 $A$、$B$、$C$ 角度を表し、の最大値を見つけます $\sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2)$？
だから私はすでに最善を尽くして、この質問に私の血、汗、涙を入れました..しかし、私はそれ以上解決することはできません！
だからここに私のアプローチがあります：使用することによって $\sin(C)+\sin(D)$ そして $A+B+C= \pi$;
- $2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+\cos(\frac{A+B}{2})$ さて、 $\cos(2A)$ 式すなわち、 $1-2\sin^2(A) $
- $2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+1-2\sin^2(\frac{A+B}{4})$
- だから私は変数で二次を得ました $\sin(\frac{A+B}{4})$
- $-2\sin^2(\frac{A+B}{4})+2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+1$
しかし、私はその後何をすべきかわからない
この方法を使用してこの質問を解決できますか、それとも別のアプローチを使用する必要がありますか？
ところで、答えは3/2です
編集：私は高校を卒業し、IIT-JEE入試の準備をしているところですので、この質問を解決するために難しい用語を使用しないでください。
この解決策は私の先生から送られました、少なくとも私にこれを理解させてください[https://i.stack.imgur.com/51pCB.png]
回答
止まったところで、 $$z=-2\sin^2x+1+2\sin x\cos y$$
$$\iff2\sin^2x-2\sin x\cos y+z-1=0$$
なので $\sin x$ は本物です、判別式は $\ge0$
$\implies8(z-1)\le(-2\cos y)^2\le2^2$
$\implies8z\le4+8$
平等は次の場合に発生します $\cos^2y=1\iff\sin y=0$
その結果、 $\sin x=\mp\dfrac{\cos y}2=\mp\dfrac12$
以来 $\sin x$ある凹面急性上$x$、イェンセンの不等式により、最大値は$A/2=B/2=C/2=\pi/6$、 なので $3\sin\pi/6=3/2$。
編集：@ B.Goddardの回答に対するコメントでOPが差別化を知っていると述べたので、正三角形のケースが最大を達成する別の証拠があります：
使い続ける $\frac{C}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2}$。絶滅させるために$\sin\frac{A}{2}+\sin\frac{B}{2}+\cos\frac{A+B}{2}$ 同時に解決$$\tfrac12\cos\tfrac{A}{2}-\tfrac12\cos\tfrac{C}{2}=0,\,\tfrac12\cos\tfrac{B}{2}-\tfrac12\cos\tfrac{C}{2}=0$$つまり。 $A=B=C$。二次導関数を考慮して、それが最大値であることを確認するために読者に任せます。
ラグランジュ乗数でそれを行うことができます。最大化$f=\sin x/2 + \sin y/2+\sin z/2$ 制約の下で $g=x+y+z = \pi$。
次に
$$\nabla f = \langle \cos(x/2)/2, \cos(y/2)/2, \cos(z/2)/2 \rangle =\lambda\langle 1,1,1 \rangle = \nabla g.$$
これは $x=y=z$ 最大の三角形は正三角形です。
三角形のABCでは、 $A+B+C=\pi$ $$f(x)=\sin(x/2) \implies f''(x)=-\frac{1}{4}\sin(x/2)<0, x\in[0,2\pi].$$ だからジェムセンの不等式によって $$\frac{f(A/2)+f(B/2)+f(C/2)}{3} \le f(\frac{A+B+C}{6}).$$ $$\implies \frac{\sin (A/2)+\sin(B/2)+\sin{C/2}}{3} \le \sin\frac{\pi}{6}.$$ $$\implies \sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2) \le \frac{3}{2}$$