の製品トポロジが $\Bbb C^n$ 通常のものと同じです

Question

だから、その機能はよく知られています $\tau_n:\Bbb C^n\times\Bbb C^n\rightarrow\Bbb C$ 条件によって定義されます

1. $\tau_n(x,y):=\sum_{i=1}^n x_i\overline y_i$

のために $x,y\in\Bbb C^n$内積です。だから私は製品トポロジーが$\Bbb C^n$ 内積によって誘発される $\tau_1$ トポロジと同じです $\tau _n$上で定義したように。この結果は、2つの位相ベクトル空間間の線形関数が連続であることを示し、有限次元の位相ベクトル空間内のすべての位相が同等であることを示すために必要であることを指摘します。したがって、私は丁寧に、回答。誰かが私を助けてくれませんか？

Answer 1

製品トポロジーは、規範によって生成されます

$$N_\infty(x)=\max(\vert x_1\vert, \dots \vert x_n\vert)$$ どこ $\vert x \vert = \sqrt{\tau_1(x,x)}$。を示す

$$N_2(x) = \sqrt{\tau_n(x,x)}$$ 我々は持っています

$$1/\sqrt{n}N_\infty(x) \le N_2(x) \le \sqrt{n} N_\infty(x)$$ これにより、望ましい結果を得ることができます。