の証明 $\mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G \cong \mathfrak{S}_{F \times_H G}$、セットでファイバー化されたカテゴリー
補題3.34：のために$F,G,H$ 個別のカテゴリ/セットの前層： $$\mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G \cong \mathfrak{S}_{F \times_H G}$$
証明：集合に組み込まれた圏の2つの射はアイデンティティだけです。（参照：http://wwwf.imperial.ac.uk/~dg3215/other/stacks.pdf ）
質問：セットでファイバー化されたカテゴリーの2射を利用する証拠が、見出語を証明する際のアイデンティティであるかどうかはよくわかりません。
試行：カテゴリ間の同値を示したい $\mathfrak{S}_{F \times_H G}$ そして $\mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G$。ファイバーワイズで次のことを確認するだけで十分です。$\mathfrak{S}_{F \times_H G}(S) \cong \mathfrak{S}_F(S) \times_{\mathfrak{S}_H(S)} \mathfrak{S}_G(S)$ すべてのために $S \in \mathfrak{S}$。補題によって$3.9$、 $\mathfrak{S}_{F}$ ファイバーカテゴリです $\mathfrak{S}$、したがって、補題を使用できます $3.31$ これはファイバーカテゴリに適用され、 $\mathfrak{S}_{F \times_H G}(S) \cong \mathfrak{S}_F(S) \times_{\mathfrak{S}_H(S)} \mathfrak{S}_G(S)$ すべてのために $S \in \mathfrak{S}$。1射、同型を取得します$\alpha: \mathfrak{S}_{F \times_H G} \cong \mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G$、およびその逆を次のように表します。 $\alpha^{-1}$。これは2射以来の同等性です$(\alpha^{-1} \circ \alpha) \Rightarrow Id_{\mathfrak{S}_{F \times_H G}}$はアイデンティティであり、したがって2同型です。同様に、$(\alpha \circ \alpha^{-1}) \Rightarrow Id_{\mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G}$ 2同型です。
リコール/要約（例3.8 p17）：
2つのカテゴリ $\mathfrak{S}_F$：
しましょう $F : \mathfrak{S}^{opp} \to Categories$ファンクターになる（つまり、カテゴリーの前層）。に関連付ける$F$ 次のファイバーカテゴリ $\mathfrak{S}_F$ 以上 $\mathfrak{S}$：オブジェクトはペアです $(U,x)$ オブジェクトの $U$ に $\mathfrak{S}$ そして $x \in F(U)$。からの射$(U, x)$ に $(V, y)$ ペアです $(f, \varphi)$ 射の $f : U \to V$ そして $\varphi : x \to f^* y$、私たちが書くところ $f^∗ := F(f)$。の構成$(g, \psi : y \to g^∗z) \circ (f, \varphi : x \to f^∗y)$ と定義されている $(g \circ f, f^∗(\psi) \circ \varphi)$。への投影$\mathfrak{S}$ ペアの2番目のコンポーネントを忘れます。
回答
この質問には2つの混乱点があるようです。
ポイント1：なぜ、カテゴリの2つの射だけがアイデンティティを設定するのですか？
さて、ファイバーカテゴリの2射とは何ですか？
しましょう $A$ 基本カテゴリになり、 $P:B\to A$、 $Q:C\to A$ ファイバーカテゴリ（以上 $A$）、 $F,G:P\to Q$ 1-ファイバーカテゴリの射（つまり、次のようなファンクター $QF=QG=P$）。次に2射$\alpha:F\to G$ からの自然な変化です $F$ に $G$ そのプロパティで $Q(\alpha_b)=1_{Pb}$ すべてのために $b\in B$ （すなわち、 $\alpha_b$ Qファイバーの上にあります $Pb$ すべてのために $b \in B$）。
その場合 $Q$ 以来、セットで繊維化されています $\alpha_b$ 常に $Q$-ファイバーオーバー $Pb$ （離散/セット）、私たちはそれを持っています $\alpha_b$単位射です。以来$\alpha_b:Fb\to Gb$ は単位射であると結論付けます $Fb=Gb$ すべてのために $b\in B$、そしてすべてのために $f:b\to b'$、自然二乗力 $Ff=Gf$、 そう $F=G$、および $\alpha=1_F=1_G$。
言い換えれば、 $Q$ 離散繊維があり、次にhomカテゴリ $\mathbf{Fib/A}(P,Q)$ 離散的でもあります。
ポイント1.5：2ファイバー製品と1ファイバー製品のポイント1の意味
主張：もし $R:D\to A$ は離散繊維を含む繊維カテゴリーであり、 $P:B\to A,Q:C\to A$ 任意のファイバーカテゴリであり、 $F:P\to R$、 $G:Q\to R$ はファイバーカテゴリの1射であり、次に1ファイバー製品です。 $P\times_R^1 Q$ 実際には2ファイバー製品です $P\times_R^2 Q$。
これが簡単な証明です。私があなたに2通勤の正方形を与えるとしましょう$$ \require{AMScd} \begin{CD} T @>>> P \\ @VVV @VVV \\ Q @>>> R, \\ \end{CD} $$ それから $R$離散ファイバーがあり、この正方形の通勤を可能にする唯一の2射はアイデンティティであるため、実際には1回通勤します。したがって、独特の射があります$T\to P\times_R^1 Q$。この射の一意性は同型を除いて一意性を保証するので、これは$P\times_R^1 Q$ の2繊維製品の普遍性を満たす $P$ そして $Q$ 以上 $R$。
または、次の場合に確認してください $R$ 離散繊維を持っている、明示的な構造 $P\times^2_R Q$ の通常の構造と同型の何かに還元されます $P\times^1_R Q$。
ポイント2：なぜこの事実は主張された結果を意味するのですか？
使用します $\int U$ 要素のカテゴリを示すために/グロタンディーク構造 $U:A^{\text{op}}\to \mathbf{Cat}$、これは私の経験ではより標準的な表記法であるため、少なくともセットで評価されるプレシーブについては。
見せたい $$\int U\times_{\int W} \int V\cong \int U\times_W V$$ どこ $U\overset{\phi}{\to} W \overset{\psi}{\leftarrow} V$ カテゴリの前層のコスパンであり、 $W$ 個別のカテゴリで評価されます。
左側のファイバー製品は、次の場合に1ファイバー製品と見なすことができます。 $W$ の前層です $\mathbf{Set}$。次に、左側のオブジェクトはタプルです$((a,u),(a,v))$ と $u\in U(a)$、 $v\in V(a)$、 そのような $\phi(u)=\psi(v)$、およびからの射 $((a,u),(a,v))$ に $((a',u'),(a',v'))$ 左側にはタプルがあります $((f:a\to a',\alpha : u\to f^*u'),(f,\beta: v\to f^*v'))$、 そのような $\phi(\alpha)=\psi(\beta)$。
一方、右側のオブジェクトはタプルです $(a,(u,v))$ と $(u,v)\in (U\times_W V)(A)=U(A)\times_{W(A)} V(A)$、および射 $(a,(u,v))\to (a',(u',v'))$ 右側はペアです $(f:a\to a', (\alpha,\beta):(u,v)\to f^*(u',v'))$。
データを比較すると、2つの辺が同じデータで構成されており、2つのカテゴリ間に同型を与えることができます。
エンドノート
いつ $U$ そして $V$ はセットで評価される前層でもあり、左側の射は今ではちょうどなので、これはさらに簡単になります $f:a\to a'$ そのような $u=f^*u'$、 $v=f^*v'$、および右側の射も $f:a\to a'$ そのような $(u,v)=f^*(u',v')$。