のソリューションの数の間の接続 $x^3 \equiv 1 \pmod{m}$ およびノルム-ユークリッドガロア三次体
私は最近、次の問題に遭遇しました。
"の最小値を見つける $m \in \Bbb N$ そのような $x^3 \equiv 1 \pmod{m}$ 少なくとも持っている $n$ソリューション。の値に注意してください$x$ 合同なmodです $m$ 同じ解決策と見なされます。」
私はどんなアプローチも思い付くことができませんでした。しかし、プログラムを使用して、次の結果を計算し、パターンを観察することができました。
ために $n \leq 3$、 一番小さい $m$ だった $7$。
ために $3 <n \leq 9$、 一番小さい $m$ だった $63 = 7 \cdot 9$。
ために $9 <n \leq 27$、 一番小さい $m$ だった $819 = 7 \cdot 9 \cdot 13$。
ために $27 <n \leq 81$、 一番小さい $m$ だった $15561 = 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 19$。
ために $81 <n \leq 243$、 一番小さい $m$ だった $482391 = 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 31$。
ために $243 <n \leq 729$、 一番小さい $m$ だった $17848467 = 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 31 \cdot 37$。
ために $729 <n \leq 2187$、 一番小さい $m$ だった $767484081 = 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 31 \cdot 37 \cdot 43$。
のクイック検索 $7, 9, 13, 19, 31, 37, 43$OEISで、ノルム-ユークリッドガロア三次体の判別式の平方根の有限シーケンスが生成されました。また、ノルム-ユークリッドイデアル類群を持つガロア立方数体の判別式の平方根のシーケンスにも一致します。
しかし、私はモジュラー算術を学び始めたばかりなので、これをどうすればいいのかわかりません。したがって、私は質問したいと思います：上記のモジュラ方程式は代数的整数論にどのように関連していますか？の値はなぜですか$n$3の力に囲まれていますか？必要なものを見つける簡単な方法はありますか$m$ 与えられた $n$？フィールドが有限である場合の結果は何ですか？
回答
最初の質問を解くのに代数的整数論は必要ありません。これまでに有用な中国の剰余定理は、多かれ少なかれあなたが必要とするすべてです。
場合 $m=\prod_ip_i^{a_i}$ の素因数分解です $m$、次にCRTは、乗法群の同型写像があると言います $$ \Bbb{Z}_m^*=\bigoplus_j\Bbb{Z}_{p_i^{a_i}}^*. $$ あなたは位数の要素の数を探しています $3$ （または $1$）このグループ内。プライム$p=2$面白くないです。すべての素数について$p_i>2$ それはよく知られています $\Bbb{Z}_{p_i^{a_i}}^*$ 順序の循環です $\phi(p_i^{a_i})=(p_i-1)p_i^{a_i-1}.$
したがって、の解の数は $x^3\equiv1\pmod{p_i^{a_i}}$ どちらかがあれば3です $p_i=3, a_i>1$、または $p_i\equiv1\pmod3$。
見つけた数のすべての素因数がこの基準を満たしていることを確認してください。とにかく、私たちはさらにそれを観察します
- CRTによるソリューションの数 $x^3\equiv1\pmod m$ 素数冪係数を法とする同じ合同の解の数の積です $p_i^{a_i}$。
- したがって、最小化するために $m$ それは無意味です $m$ 以外の素因数を持つ $3^2$ そして $p_i^1, p_i\equiv1\pmod3$。
あなたが見つけたすべての数字はの製品です $9$ そして最小の異なる素数 $\equiv1\pmod3$。これですべてです。