のソリューションセット $\frac x{x+2}>0\land\frac{x+1}{x+2}<1$ [閉まっている]

Question

大丈夫、 $\Im$愚か。私は文字通り2日間これに取り組んできましたが、それでも理解できません。

ここに質問があります： $$\frac x{x+2}>0\land\frac{x+1}{x+2}<1$$ソリューションセットは何ですか？[答えは$(0,\infty)$]

私は最初の不等式の意味を見つけました $x > 0$ そして2番目は言う $x > -2$ しかし、それは私の講師によって与えられた解決策セットにはなりません。 $(0,\infty)$。

Answer 1

推論の問題は、負の数を掛けると、不等式の符号が変わることです。したがって、それは真実ではありません$x > 0$すべての本物のために $x$、ただし $x + 2 > 0$。

最初の部分では、ケースに分割することをお勧めします。いつ$x + 2 > 0$、あなたは得る $x > 0$。でもいつ$x + 2 < 0$、次に乗算 $x+2$ 両側に与える：

$$x \color{red}{<} x+2 $$

これはすべてに当てはまります $x$状態で。したがって、の可能な値$x$ です $x > 0, x < -2$。

第二部については、 $-\frac{1}{x+2} < 0$続行できるように正しいです。ここから、$-1$ 取得するため：

$$\frac{1}{x+2} \color{red}{>} 0$$

そして今、同様の方法を使用しての可能な値を見つけます $x$。

Answer 2

この種の不平等を解決する最良の方法は、異なるケースに分割するのではなく、 $\underline{\text{combine the fractions}}$。

あなたの最初の不平等のために： $$\frac{x}{x+2} >0 \iff x(x+2)>0 \iff x \in (-\infty, -2)\cup (0, \infty) \tag 1$$

2番目の不等式の場合： $$\frac{x+1}{x+2} < 1 \iff \frac{x+1}{x+2}-1 = - \frac{1}{x+2} < 0 \iff x+2 >0 \tag 2$$

（1）と（2）を組み合わせると $x>0$。

別の例については、基本的な不等式の解決を参照してください。

Answer 3

では、最初に最初の不等式について考えてみましょう。 $$\frac{x}{x+2}>0\tag{1}$$ これが真実であるために $x>0$ だから上と下は両方とも正です、または私たちは持つことができます $x<-2$ したがって、この不等式の解決策は次のようになります。 $x\in(-\infty,-2)\wedge(0,\infty)$。

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今度は2番目： $$\frac{x+1}{x+2}<1\tag{2}$$ $$1-\frac{1}{x+2}<1$$ $$-\frac 1{x+2}<0$$ $$\frac{1}{x+2}>0$$ このことから、解決策は次のとおりです。 $x>-2$ など： $x\in(-2,\infty)$。両方が同時に真になるためには、これらのドメインが重複する場所を見つける必要があります。$x\in(0,\infty)$