の双対空間を証明する $\ell^1$ です $\ell^{\infty}$

Question

の双対空間を証明する $\ell^1$ です $\ell^{\infty}$

私の試み：私はここで答えを得ましたが、答えを理解することができません

私たちはの規範が $ x\in \ell^1$ によって与えられます $||x||_1=\sum_{k=1}^{\infty}|a_k|$

の規範 $ x\in \ell^{\infty}$ によって与えられます $||x||_{\infty}=\sup_{k\in \mathbb{N}}|a_k|$

今ここに私の証明の始まり：

以来 $\ell^1$ は、次の形式で無限シーケンスが含まれているため、無限次元です。 $(0,0,\dots,1,0,\dots)$

だから根拠があります $\{e_1,e_2,\dots,e_k\dots\}$ の $\ell^1$ どこ $e_k=M_{jk}=\begin{cases} 1 &\text{ if } j=k \\ 0 & \text{ if } j \neq k. \end{cases}$

これは、 $x \in \ell^1$ 次のように書くことができます $x=a_1e_1+a_2e_2+\dots$

有界線形汎関数を取ります $f$ の $\ell^1$

$f: \ell^1 \to \mathbb{R}$ によって定義されます $f(x)= f(a_1e_1+a_2e_2+\dots)= a_1f(e_1)+a_2 f(e_2)+\dots=\sum_{k=1}^{\infty}a_kf(e_k)$

その後、私はそれ以上進むことができません。

Answer 1

明らかに、のすべての要素 $v\in\ell^\infty$ の双対の要素を定義します $\ell^1$、 $v=(v_j)$ そして $x=(x_j)\in\ell^1$、その後 $$ v(x)=\sum_j v_jx_j\quad\text{and}\quad |v(x)|\le \sum_j |v_j||x_j|\le \big(\sup_j |v_j|\big)\sum_j|x_j|=\|v\|_\infty\|x\|_1 $$ しましょう $\varphi\in(\ell^1)^*$ とセット $v_j=\varphi(e_j)$ そして $v=(v_j)$。明らかに$$ |v_j|=|\varphi(e_j)|\le \|\varphi\|_*\|e_j\|_1=\|\varphi\|_* $$ それゆえ $v\in\ell^\infty$ そして $\|v\|_\infty\le \|\varphi\|_\infty$。それを示すために残っています$\varphi(x)=v(x)$、 すべてのために $x\in\ell^1$ そして $\|v\|_\infty= \|\varphi\|_*$。

明らかに、 $\varphi(x)=v(x)$、 ために $x=e_j$ そしてすべてのために $x$の有限線形結合である $e_j$の。それらは両方とも有界線形汎関数であり、の密なサブセットに同意します$\ell^1$、したがって、どこでも同意します。 $v\equiv \varphi$。

最後の部分については、それを示すために残っています $\|v\|_\infty\ge\|\varphi\|_*$。今、すべてのために$\epsilon>0$、単位ベクトルが存在します $w=(w_j)\in\ell^1$、 そのような $$ |\varphi(w)|>\|\varphi\|_*-\epsilon $$ そしてまた存在します $n\in\mathbb N$、 そのような $\|w-w(n)\|_1<\epsilon$、 どこ $w(n)=(w_1,w_2,\ldots,w_n,0,0,\ldots)$ そして明らかに $v(w(n))=\varphi(w(n))$。そう$$ \|v\|_\infty\ge |v(w)|\ge |v(w_n)|-|v(w-w_n)|\ge|\varphi(w_n)|-\|v\|_\infty\|w-w_n\|_1 \\ \ge |\varphi(w)|-|\varphi(w-w_n)|-\epsilon\|v\|_1 \ge \|\varphi\|_*-\epsilon-\|\varphi\|_*|w-w_n|_1-\epsilon\|v\|_1 \\ \ge \|\varphi\|_*-\epsilon-\epsilon\|\varphi\|_*-\epsilon\|v\|_1= \|\varphi\|_*-\epsilon(1+\|\varphi\|_*+\|v\|_1) $$ そしてこれはすべてに当てはまります $\epsilon>0$、これは $\|v\|_\infty\ge\|\varphi\|_*$。