の統合 $ \cos x.\cos 2x…\cos nx$

Dec 31 2020

統合したかった $\int \cos x\cos 2x\cdots \cos nx \, dx$
私が知っているのは$ \cos x\cos 2x\cdots \cos nx=\dfrac{1}{2^{n-1}}\sum_\pm \cos((n\pm(n-1)\pm\cdots\pm2\pm1)x)$ 合計がすべてであるところ $2^{n-1}$ 可能 $\pm$
しかし、明らかにこれを統合するのは困難です。このこと
から、上記の問題を解決するのにそれほど複雑ではないと思うウェルナーの公式について知るようになりました。しかし、私はこの式を任意に置く方法がわかりません$n$ 与えられた問題に対して。

事前に私を助けてくれてありがとう。

回答

1 HenryLee Dec 31 2020 at 05:56

あなたの質問は: $$I_n=\int\prod_{k=1}^n\cos(kx)dx$$ 次の事実を試して使用することができます。 $$\cos(kx)=\frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2}=\frac{e^{-ikx}}{2}\left(e^{2ikx}+1\right)$$ そして言う: $$\prod_{k=1}^n \cos(kx)=\left(\prod_{k=1}^n\frac{e^{-ikx}}{2}\right)\left(\prod_{k=1}^n(e^{2ix})^k+1\right)$$ この最初の部分は非常に簡単です。 $$\prod_{k=1}^n\frac{e^{-ikx}}{2}=2^{-n}\exp\left(-ix\sum_{k=1}^nk\right)=2^{-n}e^{-\frac{in(n+1)}{2}x}$$ 今、難しい部分は計算です: $$\prod_{k=1}^n(e^{2ix})^k+1$$ そして明らかに結果が何であれ統合する