の閉じた形の式はありますか $\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x}{n^3})$?

Dec 14 2020

お願いしたいのですが $|x|<1$、商品を表現できます $\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x}{n^3})$ 関数として $f(x)$。ワイエルシュトラスの因数分解の定理を使おうとしましたが、あまり成功しませんでした。

参考資料や解決策をいただければ幸いです。

回答

4 metamorphy Dec 14 2020 at 18:49

コメントですでに気づいたように、式は次の無限の積から取得できます。 $\Gamma$(オイラーのもの、またはワイエルシュトラスのもの):$$\Gamma(1+z)=\prod_{n=1}^\infty\frac{(1+1/n)^z}{1+z/n}=e^{-\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\frac{e^{z/n}}{1+z/n},$$ と「代数的」 $1-x/n^3=(1-x^{1/3}/n)(1-e^{2\pi i/3}x^{1/3}/n)(1-e^{-2\pi i/3}x^{1/3}/n)$、与える $$\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{x}{n^3}\right)=\Big(\Gamma(1-x^{1/3})\Gamma(1-e^{2\pi i/3}x^{1/3})\Gamma(1-e^{-2\pi i/3}x^{1/3})\Big)^{-1}.$$これは、ここで概説するように、より一般的な「有理無限積」に簡単に適用されます。

1 sirous Dec 14 2020 at 19:04

コメント:

この製品の限界は、Weierstrassnの不等式を使用して見つけることができます。

場合 $a_1, a_2, a_3, \ldots,a_n$ は1未満の実数の正の整数であり、次のようになります。

$S_n=(a_1+a_2+a_3+ \cdots+a_n)<1$

その後:

$1-S_n<(1-a_1)(1-a_2)(1-a_3) \cdots (1-a_n)<\frac 1 {1+S_n}$

許可できる場所:

$a_n=\frac x {n^3}$