の解き方 $\frac{dx}{dt} = ax^2 + bx + c$?

Aug 20 2020

ODEを解析的に解いてからしばらく経ちましたが、これは分離可能な一次非線形ODEのように見えます。

用語を分けると、

\begin{align} \frac{1}{ax^2 + bx + c}dx = dt \\ \end{align}

LHSを評価するのはかなり難しいでしょう。私が見ていないこの問題の簡単な解決策はありますか?

回答

3 AnindyaPrithvi Aug 19 2020 at 23:58

を使用しない統合手法の場合 $i$

場合 $ax^2+bx+c$ 繰り返しの実根がある場合、次のように書くことができます。 $$\dfrac{1}{(jx+k)^2}$$ これはよく知られている積分であり、jとkは定数であり、この回答では認識に値しません。

場合 $ax^2+bx+c$ 非実数のルーツが繰り返される場合は、次のように記述できます。 $$\dfrac{1}{u} \dfrac{1}{x^2+v^2}$$ 統合すると、 $$\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{v}\arctan\left(\frac{x}{v}\right)$$ ここで、uとvは定数です。

場合 $ax^2+bx+c$ 明確な本当のルーツを持っているので、それらを除外して書くのは簡単です $$\frac{1}{ax^{2}+bx+c}=\frac{A}{f\left(x\right)}+\frac{B}{g\left(x\right)}$$ここで、A、Bは定数、f(x)とg(x)は線形関数です。(二次方程式の因子)。上記の結果の形式は、次の形式の対数で構成されます。$$\frac{A}{p}\ln\left(f\left(x\right)\right)+\frac{B}{q}\ln\left(g\left(x\right)\right)+C_{onstant}$$ ここで、p、qは、それぞれ式f(x)およびg(x)のxの係数です。

Iff $4ac-b^2>0$、その場合、根は虚数であり、問​​題は次のように表現することで解決できます。 $$\frac{1}{ax^{2}+bx+c}=\frac{1}{\left(h\left(x\right)\right)^{2}+d}$$ここで、h(x)は再び線形であり、dは正の定数ですが、正方形全体を完成させました。

結果の積分は次のようになります。 $${\dfrac{2\arctan\left(\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}\right)}{\sqrt{4ac-b^2}}}+C_{onstant}$$

とiff $d<0$、積分は形式です $$\dfrac{1}{\left(ax+b\right)^2-r^2}$$ これは $$-\dfrac{\ln\left(\left|ax+r+b\right|\right)-\ln\left(\left|ax-r+b\right|\right)}{2ar}+C_{onstant}$$ 統合時。

を使用した統合手法の場合 $i$

それを3番目の形にする $\text{if}$ 上記の本文のステートメントと扱い $i$ 定数として。