の解き方 $\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+n+1}-\sqrt{n^2-n+2}}$ ロピタルなし？

Question

$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+n+1}-\sqrt{n^2-n+2}}$
$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[6]{(n^3+n+1)^2}-\sqrt[6]{(n^2-n+2)^3}}$ しかし、この制限はまだのタイプであるため $\frac{1}{\infty-\infty}$ 私はこれをやろうとしました：
$\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt[6]{(n^3+n+1)^2}+\sqrt[6]{(n^2-n+2)^3}}{(n^3+n+1)^2-(n^2-n+2)^3} = \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt[6]{(n^3+n+1)^2}+\sqrt[6]{(n^2-n+2)^3}}{3n^5-7n^4+15n^3-17n^2+14n-7}$

私は完全にここで立ち往生しています。分数をで割る$3n^5$ そして解決策は $0$。正解ではありません。私は何か見落としてますか？

Answer 1

別のアイデアとしての高速ソリューション$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+n+1}-\sqrt{n^2-n+2}}=\\ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+0n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+2}}=\\ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{(n+0)^3-0+0n^2+n+1}-\sqrt{(n-\frac12)^2-\frac14+2}}=\\ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n-(n-\frac12)}=\\2$$

リマーク： $$n^3+an^2+bn+c=\\(n+\frac a3)^3-(3n^2.\frac a3+3n(\frac a3)^2+(\frac a3)^3)+bn+c\\(n\to \infty) \implies n^3+an^2+bn+c\sim (n+\frac a3)^3 $$ そう $$n^3+n+1=(n+0)^3-0^3+n+1$$ また $n^2+an+b=(n+\frac a2)^2-(\frac a2)^2+c$

Answer 2

有理指数の二項定理：

（1 + n）^（1/3）= 1 + n / 3 + ...（1 + n）^（1/2）= 1 + n / 2 +..。

s1 =（n ^ 3 + n-1）^（1/3）= [n ^ 3（1+ 1 / n ^ 2 + ...）] ^（1/3）= n（1+ 1 /（ 3 n ^ 2）...）s2 =（n ^ 2 -n + 2）^（1/2）= [n ^ 2（1-1 / n ^ 2 + ...）] ^（1/2 ）= n（1 -1 /（2n）...）s1-s2 = 1 /（3n）+ 1/2..。

lim 1 /（s1-s2）= 2

n->無限大

Answer 3

タイピングの労力と視覚的な混乱を減らす方法で、常に代数計算を単純化するようにしてください。

明らかに私たちは取ることができます $n$ 分母の両方の用語から共通であり、したがって分母は次のように書くことができます $n(a-b) $ ここで両方 $a, b$ 傾向がある $1$。さらに、それを見ることができます$a^3,b^2$ ラジカルフリーであるため、 $$n(a-b) =n(a-1-(b-1))=n\left((a^3-1)\cdot\frac{a-1}{a^3-1}-(b^2-1)\cdot\frac{b-1}{b^2-1}\right)\tag{1}$$ ただ注意してください $$n(a^3-1)=n\left(\frac{1}{n^2}+\frac {1}{n^3}\right)\to 0$$ そして $$n(b^2-1)=n\left(-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}\right)\to - 1$$ それは今方程式から続く $(1)$ その分母 $n(a-b) $ しがちである $$0\cdot\frac{1}{3}-(-1)\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$ したがって、制限下の式は $2$。

Answer 4

大用 $n$、 $(1+n^{-2}+n^{-3})^{1/3}\in 1+\tfrac13n^{-2}+O(n^{-2})\subseteq 1+o(n^{-1})$、 そう$$\begin{align}\frac{n^{-1}}{(1+n^{-2}+n^{-3})^{1/3}-(1-n^{-1}+2n^{-2})^{1/2}}&\in\frac{n^{-1}}{1+o(n^{-1})-1+\tfrac12n^{-1}+o(n^{-1})}\\&=\frac{n^{-1}}{\tfrac12n^{-1}+o(n^{-1})}\\&\stackrel{n\to\infty}{\sim}2.\end{align}$$