の留数定理 $ I=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{\mathrm{i}\,t\,z}}{(z-z_1)(z-z_2)} \, \mathrm{d}z$

Question

留数定理を使用して積分を評価する場合

$$ I(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{\mathrm{i}\,t\,z}}{(z-z_1)(z-z_2)} \, \mathrm{d}z$$

と $t>0$、 $\mathrm{Im}(z_1)>0$ そして $\mathrm{Im}(z_2)<0$、私は得ることを考えていただろう

$$ I(t)=2\,\pi\,\mathrm{i}\,\frac{e^{\,\mathrm{i}\,t\,z_1}}{z_1-z_2}$$

上半平面のpolだけが積分に寄与するからです。Mathematica 12.0で積分を解くと、次のように評価されます。

$$ I(t)=2\,\pi\,\mathrm{i}\,\frac{e^{\,\mathrm{i}\,t\,z_1}-e^{\,\mathrm{i}\,t\,z_2}}{z_1-z_2}$$

正しい仮定を設定したとしても $z_1$ そして $z_2$ コーシーの主値の計算を可能にしました。

今、留数定理を誤解したのか、Mathematicaが積分を誤って評価したのか疑問に思っています。

Answer 1

あなたが正しいです。計算する場合は注意してください$$\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{itz}}{z^2+1}\,\mathrm dz,\tag1$$と $t>0$、あなたは得るでしょう $\pi e^{-t}$。だが$(1)$ に等しい$$\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{itz}}{(z-z_1)(z-z_2)}\,\mathrm dz,$$と $z_1=i$ そして $z_2=-i$。あなたの答えは$$2\pi i\frac{e^{-t}}{2i},$$どちらが正しい。しかし、Mathematica12.0によって提供されるその答えは$$2\pi i\frac{e^{-t}-e^t}{2i},$$それは間違っています。