の埋め込み $\sqrt{|i-j|}$ に距離 $(\mathbb{R}^n,\lVert \cdot\rVert_2)$

Question

距離空間を考慮してください $(X=\{1,\ldots,n\},d)$ そのような：

$$d(i,j)=\sqrt{|i-j|}$$

できる $(X,d)$ 等尺性に埋め込まれている $(\mathbb{R}^n,\lVert \cdot\rVert_2)$？その場合、自然な等長写像を見つけることができますか$\phi:X\to \mathbb{R}^n$？

---

コンテキストを追加するために、ランダムウォークを検討します。

$$S_n=\sum_{i=1}^n X_i$$

どこ $X_i$は独立した標準ガウス分布です。 $S=(S_1,\ldots,S_n)$ は正規分布しているため（各方向に沿った投影も分布しているため）、存在する必要があります $a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}^n$ そのような：

$$S\equiv (\langle a_1,g\rangle,\ldots,\langle a_n,g\rangle)$$

どこ $g$ は $n$-次元標準ガウス。しかし、それは判明しました：$$|i-j|=\mathbb{E}(S_i-S_j)^2=\lVert a_i-a_j\rVert^2$$

これは、埋め込みの存在を意味します。その明確な証拠があるかどうか疑問に思いました（確かにあるに違いありません！）。

Answer 1

これがそのような埋め込みです：define $$ \phi(j) = (\overbrace{1,\dots,1}^j,0,\cdots,0). $$