のユニット化のダブルデュアル $C^*$-代数
私はその証拠を研究しています $A$ は $C^*$-そのような代数 $A^{**}$ は半離散vN代数であり、 $A$完全に正の近似特性（CPAP）を持っています。私は単一のケースを処理することができましたが、私は非単一の設定で立ち往生しています：著者（N.ブラウンとN.小沢）は、$A^{**}$ 半離散的であるため、 $(\tilde{A})^{**}$ そしてそれを証明することによって結論を下します $\tilde{A}$ CPAPを持っているのでそうします $A$。
私の問題はこれです：ユニット化の二重双対が半離散的であることを証明することはできません。の二重双対に関連するユニット化の二重双対を理解できません$A$まったく。著者は次のように述べています$(\tilde{A})^{**}\cong A^{**}\oplus\mathbb{C}$ そして、それがさらに真実であることに言及します。 $B$ あります $C^*$-（閉じた、両面の）イデアルを持つ代数 $J$、その後 $B^{**}\cong J^{**}\oplus(B/J)^{**}$。まず第一に、$\cong$ ベクトル空間またはとしての意味 $C^*$-代数？この同型をどのように証明できますか？追加のボーナス質問：関係するすべてのダブルデュアルがそれらの超弱トポロジーに恵まれている場合、$\cong$ 同相写像？
回答
信じられないかもしれませんが、これらは $*$-Cとしての同型${}^*$-代数。場合$J$ の閉じた両面イデアルです $B$ その後 $J^{**}$ の弱い*閉じた両面イデアルです $B^{**}$、およびフォンノイマン代数のすべての弱い*-閉じた両面イデアルは直接加数です。これらは良い運動だと思います。の上限$B^{**}$ の近似単位の $J$ 中心投影になります $p$ そのような $pB^{**} = J^{**}$。
ボーナス、任意 $*$-フォンノイマン代数の同型写像は、自動的に弱い*同型写像です。これは、順序を保持するため、正常である必要があるためです。