ノルムベクトル空間を表示することは、閉じた部分空間と1次元の部分空間の直和です。

Aug 18 2020

以下は、LangのReal and FunctionalAnalysisのchaperIVBanachスペースの演習7です。

しましょう $F$ ノルムベクトル空間の閉じた部分空間である $E$、そして $v\in E, v\notin F$。それを示す$F+ \Bbb{R}v$閉じています。場合$E=F+ \Bbb{R}v$、それを示す $E$ の直和です $F$ そして $\Bbb Rv$ (地図を意味する $\phi(f,rv)= f+rv$ からのトップリニア同型です $F\times \Bbb Rv$$E$、すなわち同型写像と同型写像)。

私は証明することができます $F+ \Bbb{R}v$ 商空間を見て閉じます $E/F$。のイメージとして$F+ \Bbb{R}v$ 商マップの下 $\rho$ 同相である $\Bbb R$、自動的に閉じられます $E/F$、その逆像はで閉じられます $E$ の連続性によって $\rho$。だが$\rho^{-1}(\rho(F+ \Bbb{R}v))=F+ \Bbb{R}v$、それによっての近さを証明します $F+ \Bbb{R}v$。しかし、私は後者の声明を示すことに固執しています。それを示すだけで十分です$\phi$ 開いた地図で、表示することになります $U_1+U_2$ 開いている場合 $U_1$ そして $U_2$ のオープンサブセットです $F$ そして $\Bbb Rv$、それぞれ。Langは、これはより一般的な結果である開写像定理の簡単な結果であると述べています。しかし、それは完全性を前提とはしていません$E$?私は商空間手法を使おうとしていますが、ここでは当てはまらないようです。$U_1+U_2$飽和する必要はありません。どうすればよいですか?前もって感謝します。

回答

3 Chrystomath Aug 18 2020 at 14:32

しましょう $\phi:F\times\mathbb{R}v\to E$ によって定義されます $\phi(f,rv):=f+rv$

足し算とスカラー倍算の合成なので連続です。それは明らかに線形です。それは仮説によって上にあり、それ以来1対1です$v\notin F$$$f_1+r_1v=f_2+r_2v\implies f_1-f_2=(r_2-r_1)v$$

したがって、 $\phi$ は可逆であり、表示されるのは残りです $f+rv\mapsto(f,rv)$ 継続的です。

ハーン・バナッハの定理により、 $F$ 閉じている、継続的な機能があります $\psi$ そのような単位ノルムの $\psi F=0$ だが $\psi(v)=t\ne0$。しましょう$\pi(f+rv):=\psi(f+rv)v/t=rv$。次に$\pi$ 画像付きの連続投影です $\mathbb{R}v$ とカーネル $F$、 あれは \begin{align*}\|rv\|&=\|\pi(f+rv)\|\le c\|f+rv\|\qquad(c=\|\psi\|\|v\|/t)\\ \|f\|&\le\|f+rv\|+\|rv\|\le(1+c)\|f+rv\|\end{align*} その結果 $E=F\oplus\mathbb{R}v$