ノルム空間の弱いトポロジー

Question

しましょう $X,Y$ 2つのノルム空間であり、 $T:X\rightarrow Y$ 有界線形演算子である。 $X,Y$トポロジーが弱い。私の質問はそうです$T$ 弱コンパクトセットのマップ $X$ 弱コンパクトセットに $Y$ そして2番目の質問はそれがすることです $T$ 装備しても連続マップのまま $X,Y$ トポロジーが弱い。

Answer 1

場合 $V$ の準基底要素です $\tau_w$ に $Y$ 含む $0_Y$、それから機能があります $\phi:Y\to \mathbb F$ そして $\epsilon>0$ そのような $V=\{y:\phi(y)<\epsilon\}$。次に、$T^{-1}(V)=\{x:(\phi\circ T)(x)<\epsilon\}$。今$\phi\circ T:X\to \mathbb F$ （ノルム-）連続線形汎関数なので $T^{-1}(V)$ で弱く開いています $X$ と含まれています $0_X$。その結果$T$弱い-弱い連続です。これにより、2番目の質問に肯定的な回答が与えられ、次に、最初の質問に肯定的な回答が与えられます。

Answer 2

この答えは何も新しいことを提供しませんが、シーケンスの観点からの説明はより明確かもしれないと思います。コンパクト性の質問は、弱い連続性から弱い連続性に由来するため（任意のトポロジに影響があります）、後者を示すだけで十分です。

仮定します $\{x_n\}_n\rightharpoonup y$。その後、すべてのために$f\in X^*$、 $\{f(x_n)\}_n\to f(y)$。特に、フォームの任意の双対$g\circ T$、 どこ $g\in Y^*$、満足します $$\{g(Tx_n)\}_n\to g(Ty)$$ しかし、これはただです $\{Tx_n\}_n\rightharpoonup Ty$。