ノットストランドの数は不変ですか？
質問：結び目のコンポーネントの数は、特定の平面埋め込みに依存しますか？
私は、基礎となる平面グラフ構造に基づいて、ケルトノットのコンポーネント（「個別のストランド」）の数を計算する方法を調査してきました。（ここでノット/リンクと平面グラフの関係を参照してください）。
どうやら、一般的なグラフの計算は少し複雑です。たとえば、この質問の参照は、ユニフォームの場合$m\times n$ 正方形のグリッド、コンポーネントの数は $\mathrm{lcd}(m,n)$。
コンポーネント（「ストランド」）の数、またはストランドの数とその次数、スペクトルなどのさまざまなグラフプロパティとの関係を計算するための式を見つけることは、それらのプロパティを計算するのが難しい場合でも、私を満足させます。 。
私が採用したアプローチの1つは、連結成分に関するものです。各個別のストランドは特定の軌道に従い、それらの軌道の連結成分はストランドに正確に対応します。軌道は、各エッジを後続にマッピングする遷移関数（いくつかの追加の構造と）として定義できます。これは、サイクルがコンポーネントである（構造化された）エッジの順列です。
遷移関数は、それ自体の派生した有向グラフ（グラフでエンコードされたマップと同様）としてエンコードできます。このグラフの連結成分は、結び目のコンポーネントです。線形代数から、連結成分の数は、隣接行列のラプラシアンのゼロ固有値の多重度として復元できることがわかります。
しかし、私は同じグラフが $G$複数の非同型平面埋め込みを持つことができます（つまり、その双対は非同型です）。これまでの私の経験では、これによりいくつかの結び目プロパティ（各コンポーネントのねじれの数など）が変更されましたが、コンポーネントの数は変更されていません。
私の質問はこれです：
質問：結び目のコンポーネントの数は、特定の平面埋め込みに依存しますか？どうやってそれを証明しますか？
私の直感では、コンポーネントの数は不変であると言われていますが、上記のアプローチを使用して反例や証明を作成することはできませんでした。
推測：もし $G$ がグラフの場合、対応する結び目は $c$ コンポーネント、ここで
$$T_G(-1,-1) = (-1)^{|E(G)|}\cdot (-2)^{c - 1}$$
そして $T_G$ はトゥッテ多項式であり、 $|E(G)|$グラフのエッジの数です。（？）
回答
しましょう $D$リンクの図になります。例えば、$D$あなたの投稿に描かれているケルト族の結び目やリンクの図である可能性があります。しましょう$G$ のチェッカーボードグラフになります $D$。グラフ$G$ 最初の箇条書きで説明したグラフです。
回答：のコンポーネントの数$D$ 抽象グラフによって決定されます $G$ 方法に依存しません $G$ 平面に埋め込まれています。
私の知る限り、これは1979年にMichel LasVergnasによって最初に証明されました。彼は次のコンポーネントの数が $D$ トゥッテ多項式評価によって決定されます $T_G(-1,-1)$。トゥッテ多項式はの特定の埋め込みに依存しないため$G$、結果は次のとおりです。このペーパーのリファレンスは
- ラスヴェルグナス、ミシェル。グラフのオイラー分割について。グラフ理論と組み合わせ論（Proc。Conf。、Open Univ。、Milton Keynes、1978）、pp。62–75、Res。数学のノート、34、ピットマン、ボストン、マサチューセッツ州-ロンドン、1979年。
上記の論文のコピーを簡単に見つけることができなかったので、DanSilverとSusanWilliams（arXiv link）のおかげで、解決策を得る別の方法があります。それらは行列を定義します$Q_2(G)$ そのエントリは2つの要素を持つフィールドにあります $\mathbb{F}_2$次のように。行列の行と列の両方が頂点によってインデックス付けされます$v_1,\dots,v_n$ の $G$。場合$i\neq j$、 そうして $ij$ のエントリ $Q_2(G)$ 頂点間のエッジの数です $v_i$ そして $v_j$ （撮影$\mod 2$）。ザ・$ii$ のエントリ $Q_2(G)$ 行の他のエントリの合計です $i$ （再び取られた$\mod 2$）。同等に、私たちは言うことができます$ii$ のエントリ $Q_2(G)$ 列の他のエントリの合計です $i$。
リンクされた論文の定理1.1で、彼らはの構成要素の数が $D$ の無効性に等しい $Q_2(G)$。彼らは備考1.2で、これはの構成要素の数を意味すると述べています。$D$ の平面埋め込みとは無関係です $G$。
編集：私はLas Vergnasの論文にアクセスできませんが、Tutte多項式とJones多項式を使用して結果の別の説明を与えることができます。
しましょう $L$ 交代リンクになりましょう $D$ リンクの交互の図であり、 $G$ のチェッカーボードグラフになります $D$。次に、トゥッテ多項式$T_G(x,y)$ の $G$ とジョーンズ多項式 $V_L(t)$ の $L$ 次のように関連しています。 $$V_L(t) = f_D(t) T_G(-t,-t^{-1})$$ 機能のために $f_D(T)$ によって定義されます $$f_D(t) = (-1)^{w(D)}t^{\frac{1}{4}(|E| - 2(|V|-1)+3w(D))}$$ どこ $w(D)$ の悶えです $D$、 $|E|$ のエッジの数です $G$、および $|V|$ の頂点の数です $D$。そのことに注意してください$|f_D(1)|=1$、 したがって $|V_L(1)| = |T_G(-1,-1)|$。
ジョーンズ多項式はスケイン関係式を満たします $$(t^{\frac{1}{2}}-t^{-\frac{1}{2}})V_{L_0}(t) = t^{-1}V_{L_+}(t) - tV_{L_-}(t)$$ どこ $L_+,L_-,$ そして $L_0$ 以下のとおりです。
設定 $t=1$ 上記のスケイン関係式では、 $V_{L_+}(1)=V_{L_-}(1)$。言い換えれば、ジョーンズ多項式はで評価されました$t=1$ 交差する変化の下で変化しない、したがって $V_L(1)=V_{\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc}(1)$ どこ $\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc$ と同じ数のコンポーネントを持つ些細なリンクです $L$。のジョーンズ多項式$\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc$ です $V_{\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc}(t) = (-t^{\frac{1}{2}}-t^{-\frac{1}{2}})^{m-1}$ どこ $m$ のコンポーネントの数です $\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc$。したがって、$$|T_G(-1,-1)|=|V_L(1)|=|V_{\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc}(1)| = 2^{m-1}.$$
上記のケースは、 $L$交互になっています。場合$L$が交互ではない場合は、次の手順に従います。しましょう$D$ の任意の図である $L$。定義する$D_{\text{alt}}$ と同じ影の図になる $D$ しかし、その交差点が交互になるように変更され、定義する $L_{\text{alt}}$ ダイアグラムが $D_{\text{alt}}$。ご了承ください$D$ そして $D_{\text{alt}}$ 同じチェッカーボードグラフを持っている $G$。上記の議論は、$|T_G(-1,-1)|=2^{m-1}$ どこ $m$ のコンポーネントの数です $L_{\text{alt}}$。以来$L_{\text{alt}}$ そして $L$ コンポーネントの数が同じである場合、結果は次のようになります。 $L$ 同じように。