二次非線形不均一多変数微分方程式を解く

Question

ノートブック全体の半分をスクラッチとして使用したが、解決策を得ることができなかったという、非常に奇妙な違いがあります。こんな感じ$$\frac{d^2y}{dt^2}=-\frac{a}{x}\frac{dx}{dt}-\frac{b}{y^2}$$ 変数分離を試みたので、 $$\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{b}{y^2}=C\tag{1}$$ $$-\frac{a}{x}\frac{dx}{dt}=C\tag{2}$$しかし、私はこれについて疑問を持ち始めています。そのような場合に変数分離を適用したことを思い出せませんでしたが、F（x、y、t）にのみ適用しました。この微分方程式を解く適切な方法は何ですか？

注：両方 $y$ そして $x$tの関数です。微分方程式は変更されていない元の形式であり、カップルはありません。したがって、xとyの関係、およびその逆の関係は、微分方程式によって決定されます。

Answer 1

$$\frac{d^2y}{dt^2}=-\frac{a}{x}\frac{dx}{dt}-\frac{b}{y^2}$$ 任意の関数を選択しました $y(t)$

$$\frac{1}{x}\frac{dx}{dt}=-\frac{1}{a}\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{b}{a\:y^2}$$ $$\ln|x(t)|=-\frac{1}{a}\int(\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{b}{y^2})dt=-\frac{1}{a}\frac{dy}{dt}-\frac{b}{a}\int \frac{1}{y^2}dt$$ $$\boxed{x(t)=C\:e^{-\frac{1}{a}\frac{dy}{dt}-\frac{b}{a}\int \frac{1}{y^2}dt}}$$ したがって、あなたの問題には無限の多くの解決策があります：任意の関数ごとに $y(t)$ あなたは関連する $x(t)$。

例えば ​​：

と $y(t)=\frac{1}{sin(t)}\quad;\quad \frac{dy}{dt}=-\frac{\cos(t)}{\sin^2 (t)}\quad;\quad x(t)=C\:e^{\frac{1}{a}\frac{\cos(t)}{\sin^2 (t)}-\frac{b}{a}\left(\frac12 t-\frac14\cos(2t) \right)}$