パスの違いは何ですか $\infty$-亜群と滑らかな基本 $\infty$-滑らかな空間の亜群？
数日前、私は質問をしましたパスを使用したホモトピー仮説の幾何学的/滑らかなバージョンはありますか$\infty$-滑らかな空間の亜群？中MOの可能スムーズ/幾何バージョンの存在についてホモトピー仮説パスの概念を使用して$\infty$-滑らかな空間の亜群。
コメントセクションで@DavidRoberts と話し合った後、パス1-亜群と滑らかな空間の滑らかな基本1-亜群はまったく異なるオブジェクトであるが、「無限大レベルまで移動した場合」と感じました（ただし完全には確信していません）そしてそれらをカンコンプレックスとして提示すると、それらは同じオブジェクトになります。
3か月前、私は次のMOの質問をしました。空間の基本亜群の神経の幾何学的実現とは何ですか？。
の議論から
パスを使用したHomotopy仮説の幾何学的/滑らかなバージョンはありますか $\infty$-滑らかな空間の亜群？
空間の基本亜群の神経の幾何学的実現とは何ですか？
今、私は次の質問/疑問を持っています：
滑らかな空間のSmoothFundamental1-GroupoidとPath1-Groupoidの構築は、自然な関手を誘発することを私たちは知っています $Man \rightarrow Groupoids$。さて、空間の基本亜群の神経の幾何学的実現とは何ですか？私はそれを期待しています$|N \circ \pi_{\leq 1}(X)|$ 滑らかな空間の第1ホモトピー群のすべての情報が含まれています $X$ どこ $N$ある神経ファンクタは、$\pi_{\leq 1}$ある滑らかな基本的な1-Groupoidファンクタは、と$|-|$ある幾何学的実現ファンクタは。これで、パス1-亜群ファンクターで同じ手順を繰り返すことができます$\pi'_{\leq 1}: Man \rightarrow Groupoids$。
私の質問は次のとおりです。
です $|N \circ \pi_{\leq 1}(X)|= |N \circ \pi'_{\leq 1}(X)|$？（どこ "$=$「適切な意味で）
パスを提示する方法はありますか $\infty$-SmoothFundamentalとは異なるような滑らかな空間の亜群 $\infty$-空間の亜群？（それが私たちの直感と一致するように$n=1$ 場合）
（沿って "$n$「私は「レベル1の亜群」を意味します）。
回答
私はあなたの最初の質問にしか答えることができません、そして答えはノーです。例を挙げる$X=\mathbb{R}^2$、そのため、基本亜群は自明ですが、パス亜群には、固定された基点（およびその他多く）を通過するすべての正の半径の円で表される別個の矢印が含まれています。これは、一連の矢印のトポロジーまたは滑らかな構造に関するすべての質問を無視しています。これはあなたの意図だと思います。したがって、これらの神経の幾何学的実現は、1つは可縮であり、1つは有限生成さえされていない基本群を持っているため、弱いホモトピー等価でさえあり得ません。