Peter Baxandallによる剛体変換を使用した空間曲線の基本定理の証明（ベクトル計算）
私は次の方法で空間曲線の基本定理を証明するPeterBaxandallによるベクトル計算を読んでいます（ねじれ率と曲率が等しい曲線はおそらくそれらの位置を除いて同一です）：
証明の中で、著者は次のように述べています。 $p \in E$。ホールド$C_g$ 固定して移動 $C_h$ しっかりと $\Bbb R^3$ まで $T_h(p) = T_g(p) , \cdots$。著者がそうすることができる動機とメカニズムはあまりはっきりとはわかりません。剛体変換は、曲線の長さを維持するものとして理解しています。ただし、単位接線ベクトルを作成するために回転を使用する必要がある場合もあります。$T_g$ そして $T_h$同じ。しかし、最後の行で、彼は最終的にそれを言います$C_h$ の翻訳です $C_g$。
また、2つの曲線のねじれと曲率が等しいという事実を著者がどこで使用したのかわかりませんでした。$$\phi = T_g \cdot T_h + N_g \cdot N_h + B_g \cdot B_h \\ \implies \phi' = T_g' \cdot T_h + T_g \cdot T_h' + N_g' \cdot N_h + N_g \cdot N_h' + B_g' \cdot B_h + B_g \cdot B_h'$$。しかし、それ以来、私たちはすでに持っています：$T_g=T_h,N_g=N_h,B_g=B_h$、したがって： $T_g⋅T_h'=0=T_g'⋅T_h$。同様に、他の人にとっては、各内積は$0$。2つの曲線のねじれと曲率が等しいという事実を使用していないようです。
誰かが実際に何が起こっているのか説明してもらえますか？どうもありがとう！
注意 ： $T,N,B$ 接線、法線、および従法線の単位を表します-それぞれベクトル
回答
声明は $C_g$ そして $C_h$「等しい、動きまで」です。彼の証明では、著者は置き換えます$C_h$ 合同なコピーによって（ここでも $C_h$）次の方法で：彼は $p\in E$ 回転を適用します $R$ の ${\mathbb R}^3$ 元の正規直交トリプル $\bigl(T_h(p),N_h(p),B_h(p)\bigr)$ トリプルにマッピングされています $\bigl(T_g(p),N_g(p),B_g(p)\bigr)$。この一定の回転時$R$ に適用されます $C_h$ 曲線 $R(C_h)=:C_h$ まだ一致していません $C_g$、しかし（実際には）の翻訳です $C_g$。必要に応じて、さらに翻訳を申請することができます$A$ そのような $(A\circ R)(h(p))=g(p)$、ただし必須ではありません。読者として、私たちは移動した曲線をさらに苦労することなく受け入れます$C_h$ オリジナルと合同です $C_h$。
証明の難しい部分は、新しいことを示すことにあります $C_h$ に合同です $C_g$。ここでは、フレネ式が使用されます。実際に計算する必要があります$\phi'$ の平等を確認するために $s\mapsto\kappa(s)$ そして $s\mapsto\tau(s)$ 2つの曲線はそれを示すのに役割を果たします $\phi'=0$： $$\eqalign{\phi'&=(T_g\cdot T_h+N_g\cdot N_h+B_g\cdot B_h)'\cr &=T_g'\cdot T_h+T_g\cdot T_h'+N_g'\cdot N_h+N_g\cdot N_h'+B_g'\cdot B_h+B_g\cdot B_h')\cr &=\kappa N_g\cdot T_h+\kappa T_g\cdot N_h+(-\kappa T_g+\tau B_g)\cdot N_h+(-\kappa T_h+\tau B_h)\cdot N_g-\tau N_g\cdot B_h-\tau B_g\cdot N_h\cr &=0\ .\cr}$$
結局のところ、の「平等」 $C_g$ そして $C_h$ ODEのソリューションの独自性の部分から来ています。