ポアンカレ双対性を生み出す交差点地図
しましょう $M$ 滑らかに三角測量されたコンパクトになる $d$-次元多様体。サブコンプレックスを検討してください$C_*^{\pitchfork T}(M)$三角測量を横切る滑らかな特異鎖の。帰納的鎖複体のホモトピー構造は、これらがすべての滑らかな、したがってすべての特異な鎖に対して準同型であることを確立します。
交差点マップを定義する $I : C_n^{\pitchfork T}(M; R) \to C^{d-n}_\Delta(M; R)$ （後者は三角測量から生じる単純なコチェーンです） $\sigma : \Delta^d \to M$ 標数マップがである三角形分割の要素の値を持つコチェーンに $\iota : \Delta^{d-n} \to M$ の引き戻しによって与えられるゼロ多様体の数です $\sigma$ そして $\iota$。ここでも$R$ です $\mathbb{Z}/2$ または $M$指向とカウントがいつもの兆候であり、もう1つは（のようないくつかのバージョンで使用されている必要があり、このコーナーでマニホールドのための横断のを）。
楽しい運動：適切な兆候があり、 $I$鎖複体のマップです。（ヒント：プレイメージを数えることによって定義される次数がホモトピー不変であるという証明のように、これは1多様体の分類に依存します。）ポアンカレ双対性は、$I$ 擬同型です。
質問：なぜですか $I$ 擬同型？
私はこれを証明できると思いますが、mod-twoの設定でのみ、トムのコボルディズムに関する独創的な研究とコボルディズムに対するキレンの基本的なアプローチを使用することによって（彼の「基本的な」論文の定義だけであり、主要な結果ではなく、私にとってはかなりです）論文のタイトルにもかかわらず深い）。しかし、より直接的な議論が必要であり、それは方向付けられたケースもカバーします、そしてこれはどこかの文献にあるべきであるように思われます-1940年代から多分？
（動機：Greg Friedman、Anibal Medina、および私は、チェーンとコチェーンが多様体について同じことを知っていますか？ベクトル場の流れを通じて、相互作用の既存の知識に基づいて構築したいなどの質問に対する新しいアプローチであると私たちが考えるものを持っています交差点と二重性の間。）
回答
関連性の高い関連性の高いコメントスレッドで、MikeMillerはこのLipyanskiyのプレプリントを指摘しました。JoshuaとDmitriと私がコメントで話し合っていることなど、うまくいく議論があると確信しています。しかし、忘れる前に、Lipyanskiyの作品、特にセクション12を指摘し、質問に回答済みのマークを付けたいと思います。